Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

S треуг= aha 2, где h — высота (на рисунке — BE), проведённая к стороне a (на рисунке — AD).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

S Δ= p (p − a)(p − b)(p − c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ p = a + b + c 2

— формула Герона, где a, b и c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S = a ⋅ b 2, где a и b — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. Вычислим площадь треугольника со сторонами 17 см, 39 см, 44 см.

Решение:

p =17+39+442=50 S Δ=50⋅(50−17)⋅(50−39)⋅(50−44)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=50⋅33⋅11⋅6−−−−−−−−−−−√==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=5⋅2⋅3⋅11=330(см2)

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a ⋅ a −−−−√= a

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. Вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны 15 см, 13 см, 4 см.

Решение:

Используем две формулы вычисления площади: S Δ= aha 2 и S Δ= p (p − a)(p − b)(p − c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√

Меньшая высота в треугольнике та, которая проведена к большей стороне, поэтому a =15 см.

S Δ= p (p − a)(p − b)(p − c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=16⋅1⋅3⋅12−−−−−−−−−−√=24(см2)

Составляем уравнение:

15⋅ h 2=24∣∣⋅215⋅ h =48 h =4815=3,2(см)

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. Дан параллелограмм со сторонами 17 см и 39 см, длина диагонали равна 44 см. Вычислим площадь параллелограмма.

Решение:

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

S параллелограмма=2⋅ S Δ=2⋅330=660(см2)

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.

SABCD = SABD + SDBCSABCD = AD ⋅ BE 2+ BC ⋅ DF 2= AD ⋅ BE 2+ BC ⋅ BE 2==(AD + BC)⋅ BE 2

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через a и b, высоту через h, то:

S трап= a + b 2⋅ h

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.