Введение в решение задач

Любому животному, находящемуся в бодрствующем со» стоянии, присуща некоторая целенаправленная актпв-

' Там же, с. 156. Небезынтересно напомнить, что юридические документы и правительственные постановления, тщательно сформулированные с целью достичь максимальной точности, славятся своей непонятностью.

•175

ность, характеризующаяся готовностью воспринимать а действовать или, проще говоря, осмысленно относиться к ситуации. В этих изначальных усилиях сохранить контроль над собой и своей средой мы видим те зачатки, из которых возникает процесс решения задач. Он появляется, когда это усилие может быть расчленено на две стадии: первую— стадию замешательства и вторую — стадию действия и восприятия, рассеивающую это замешательство. Мы можем утверждать, что животное «увидело» задачу, если его замешательство продолжается определенное время, в течение которого оно явно пытается подобрать решение к озадачившей его ситуации. Поступая таким образом, животное ищет скрытый аспект ситуации, догадываясь о его наличии;

ищет, используя явные особенности ситуации в качестве пробных ориентиров или инструментов.

Увидеть задачу (так же, как увидеть дерево, или понять математическое доказательство, или понять шутку) — это значит добавить к зрению нечто определенное. Это значит — выдвинуть предположение, которое может быть правильным или ложным, в зависимости от того, существуют ли в действительности заключенные в этом предположении скрытые возможности. Распознать задачу, которую можно решить, если она того стоит, — это уже фактически есть своего рода открытие. Из поколения в поколение передаются знаменитые математические задачи, оставляя за собой длинный шлейф достижений, стимулированных попытками их решения. Из экспериментов с животными мы видим, что достаточно продемонстрировать животному наличную задачу, чтобы оно приступило к поиску ее решения. Крысу, посажедную в специальный ящик, служащий для исследования способности различения, побуждают понять, что в одном из двух отделений этого ящика спрятана пища, и лишь после того, как крыса это поймет, она начинает искать, чем дверца, за которой спрятана пища, отличается от той, за которой ее нет. Аналогично и в случае с лабиринтом — животные не начинают его разгадывать до тех пор, пока не поймут, что в нем есть путь, в конце которого их ждет вознаграждение. В экспериментах Кёлера, исследовавшего инсайт у шимпанзе, животные сразу схватывали проблему и проявляли понимание задачи тем, что сдержанно и спокойно на ней сосредоточивались.

Существенную роль в открытии обычно играет случай. Можно так построить эксперименты по научению, что в отсутствии ясно понятой задачи открытие может произойти

только случайноI. Механистически мыслящие психологи, придумывавшие такого рода эксперименты, нередко объясняли научение как удачный результат случайного поведения. Эта же концепция обучения лежит в основе кибернетической модели машины, «обучающейся» посредством отбора «форм поведения», которые в серии случайных испытаний оказались успешными. Я не буду останавливаться здесь на этой модели, а продолжу рассмотрение процесса открытия как результата умственного усилия.

Интеллектуальное решение задач животными было наглядно продемонстрировано в экспериментах Кёлера с шимпанзе. В их поведедии отчетливо выступают те характерные стадии, через которые, согласно Пуанкаре, проходит процесс открытия в математике. Я уже упоминал первую из этих стадий — оценку проблемы. Если шимпанзе видит в клетке связку бананов, до которой ему не дотянуться, он не делает бесплодных попыток заполучить ее просто силой, но и не оставляет желания все-таки завладеть угощением. Животное приходит в необычно спокойное состояние и глазами исследует пространство вокруг своей цели. Это означает, что данное положение оценено как проблема и идет поиск ее решения2. Мы можем признать эти действия как составляющие стадию «подготовки», если применить основанную на работах Пуанкаре терминологию Уоллеса 3.

' Гатри и Хортон помещали кошку в клетку, в середине пола которой закреплялся небольшой шест, действовавший как механизм, открывающий клетку. Кошки, случайно наталкивавшиеся на шест и в результате освобождавшиеся из клетки, быстро понимали связь между тем и другим и в дальнейшем совершенно стереотипно воспроизводили; приводившие к освобождению действия. Ситуация здесь не создавала перед животными проблемы для понимания, а случайно найденное решение не свидетельствовало об отчетливо понятом механизме освобождения. Роль понимания в этом процессе была минимальной (сравн. также: Н i I g a r d,

ор. cit., p. 65—68).

* Кёлер пишет, что «...особенно много разъясняют в поведении

шимпанзе упомянутые паузы бездеятельности. Один психолог... пришел смотреть на антропоидов. Для демонстрации я избрал Султана в качестве подопытного животного. Он провел один опыт с решением, второй и третий; но ничто не произвело на посетителя такого большого впечатления, как последовавшая затем пауза, во время которой Султан медленно почесывал голову, бездействуя поводил глазами и медленно и тихо поворачивал голову, осматривая самым внимательным образом ситуацию вокруг себя» (Кёлер В. Исследование интеллекта человекоподобных обезьян. М.,

Изд-во Комакадемии, 1930, с. 149).

3W а 11 a s G. The Art of Thought. London, 1946, p. 40 Й.

В наиболее поразительных из наблюдавшихся Кёлером случаях инсайта за подготовительной стадией внезапно следует разумное действие. Резко выйдя из спокойного состояния, животное переходит к выполнению приема, ведущего к цели, или по крайней мере видно, что понят принцип, с помощью которого может быть достигнута цель. Действует оно без колебаний, что заставляет предположить, что животное руководствуется отчетливым представлением всей операции. Это понимание — его открытие или по крайней мере попытка открытия. Достижение понимания можно признать стадией «озарения». Поскольку практическое осуществление принципа, открытого инсайтом, часто сопряжено с трудностями, иногда даже непреодолимыми, операции, посредством которых животное подвергает свое открытие испытанию в плане практической реализации, можно рассматривать как стадию проверки.

На самом деле Пуанкаре описал четыре стадии открытия: подготовку, вызревание, озарение и проверку. Однако у шимпанзе вторая из этих стадий наблюдается лишь в зачаточных формах. Кёлер довольно подробно описал наблюдения над тем, как один из его шимпанзе продолжал свои усилия по решению задачи даже после того, как занимался некоторое время другими делами'. Это удивительным образом предвосхищает процесс вызревания, поскольку эвристическое усилие здесь сохраняется (что любопытно) в течение длительного времени, пока проблема сознательно не анализируется.

)Обезьяна в течение некоторого времени была занята поисками орудия, о помощью которого можно было бы подтянуть к себе связку бананов, лежавшую вне клетки. Она производила различные безуспешные попытки в этом направлении, например, пыталась отломить доску от крышки своей деревянной клетки, или высовывала соломину из клетки по направлению к угощению. Затем, как могло показаться, обезьяна совсем отказалась от этой затеи. Минут десять она продолжала играть с другой обезьяной, не поворачиваясь больше к бананам вне клетки. Потом вдруг, когда- ее внимание было отвлечено от игры каким-то криком неподалеку, ее взгляд упал на шест, прикрепленный к крышке клетки. Она сразу же стала его доставать и, подпрыгнув несколько раз, в конце концов оторвала шест и пододвинула с его помощью бананы. Это можно счесть доказательством того, что животное, даже будучи занято другим, удерживало задание как бы на заднем плане своего ума, сохраняя готовность воспользоваться инструментом для выполнения задания, как только он попадется на глаза (Кёлер В. Исследование интеллекта человекообразных обезьян, с. 134—143).

Усилия решить задачу предполагают эмоциональное напряжение, а разряжающее это напряжение открытие обычно доставляет большую радость. Свидетельство тому рассказ об Архимеде, выскочившим из ванны на улицы Сиракуз с криком «Эврика!». Цитированное сообщение Кёлера о поведении шимпанзе до и после решения задачи указывает на то, что они также испытывают подобные эмоции. Позже я покажу это более определенно. Сейчас же я об этом упоминаю лишь для того, чтобы пояснить to'j факт, что проблем или открытий самих по себе не существует. Нечто может быть проблемой только в том случае. если это нечто кого-то озадачивает и беспокоит, а открытием — если снимет с кого-нибудь бремя проблемы. Шахматная задача ничего не означает для шимпанзе или слабоумного, а потому и не приводит их в затруднение. С другой стороны, шахматного гроссмейстера эта задача, может быть, тоже не приведет в затруднение, потому что он без труда найдет ее решение. Только для игрока, способности которого соответствуют уровню задачи, она послужит предметом углубленных занятий, и только такой игрок оцепит ее решение как открытие1.

По-видимому, оценить относительную трудность задачи

и проверить умственные способности испытуемых можно, исходя из их умения решать задачи той или иной степепн сложности. Кёлеру удалось успешно оценить интеллект шимпанзе и трудность ряда проблем после того, как он придумал целую серию заданий, выполнимых (при определенном усилии) только для некоторых из его обезьян и слишком трудных для других. Р. М. Йеркс ставил перед земляными червями задачи, которые они оказывались в силах разрешить, сделав около сотни попыток. Успех этих акспериментов показал возможность оценивать даже такие чрезвычайно низкие интеллектуальные способности, как те, что в данном случае требовались от земляного червя2. Аналогичной оценкой занимаются и редакторы отдела кроссвордов в газете, снабжая своих читателей задачами всегда одной и той же степени трудности. Можно сделать вывод,

' По наблюдению Курта Левина, человек не бывает эмоционально задет ни слишком легкой, ни слишком трудной задачей, а только такой, которая может быть им решена, если он как следует постарается. Хоппе, следуя Левину, называет задачи такого типа «м'ерой эго-вовлеченности». См. об этом: Н i I g a r d, op. cit., p. 277.

2Yerkes R. М. The Intelligence of Earthworms. — In: Journ. Anim. Behav.", 1912, 2. p. 332—352. Ср.: М a i e г N. В. F., Schneiria Т. Principles of Animal Psychology, N. Y. — London, 1935, p. 98—101.

что поскольку проблема всегда должна рассматриваться как существующая по отношению к личности определенного рода, то наблюдатель может с достоверностью распознать ее в качестве таковой по отношению к данным конкретным лицам.

Если животное, решившее задачу, вновь помещают в исходную для этой задачи ситуацию, оно без колебаний применяет решение, открытое им ранее ценой больших усилий. Это показывает, что, решив задачу, животное приобретает новую интеллектуальную способность, благодаря которой оно уже ие оказывается в тупике перед той же проблемой. Напротив, оно справляется с ситуацией рутинным образом, без эвристических усилий и без открытий. Задача перестала для него существовать. Эвристический прогресс необратим.

Необратимый характер открытия наводит на мысль, что никакое решение задачи не может быть признано открытием, если к нему приходят путем процедуры, следующей определенным правилам. Ибо такая процедура будет обратимой в том смысле, что ее можно шаг за шагом проследить в обратном порядке, вплоть до самого начала, а потом повторить сколь угодно много раз, как всякое арифметическое вычисление. Соответственно и любую строго формализованную процедуру следовало бы исключить из числа средств, с помощью которых делаются открытия.

Отсюда следует, что подлинное открытие не есть строго логический акт, и соответственно препятствия, которые приходится преодолевать при решении задач, можно назвать «логическими разрывами», о величине каковых можно судить по степени изобретательности, требуемой для решения проблемы. В таком случае «озарение» — это скачок, посредством которого преодолевается логический пробел; это прыжок с целью захватить плацдарм на противоположном берегу действительности. И на такие рискованные шаги ученый должен делать ставку все время, в течение всей своей профессиональной деятельности.

Ширина логического разрыва, преодолеваемого изобретателем, является предметом юридической оценки. В функцию патентных бюро входит решать, достаточна ли изобретательность, вложенная в предлагаемое техническое усовершенствование, чтобы оправдать его юридическое признание в качестве изобретения; или же оно есть просто рядовое улучшение, достигнутое путем применения правил, уже известных в данной отрасли. За изобретением должна

быть признана непредсказуемость — качество, измеряемое-степенью удивления, которое, как можно ожидать, будет вызвано этим изобретением. Этот эффект неожиданпости п служит точным индикатором логического разрыва между предшествовавшим знанием, из которого изобретатель исходил, и открытием, к которому он пришел.

Установленные правила умозаключения дают общезначимые пути для того, чтобы извлекать разумные выводы из существующего знания. Первооткрыватель, который приходит к своим оригинальным выводам, преодолевая логический разрыв, отклоняется от общепринятого процесса» рассуждения. Его действие оригинально в том смысле, что дает начало новому направлению, а способность начинать, новое — это и есть свойственный лишь немногим талант

оригинальности.

С эпохи романтизма оригинальность все в большей мере-

признается природным даром, который один только и позволяет личности предлагать существенные нововведения. В наши дни университеты и исследовательские лаборатории в промышленности зиждятся на использовании личностей с оригинальным мышлением. Молодым ученым, в которых усматриваются признаки оригинальности, доверяют постоянные должности в надежде, что они и в течение-оставшейся жизни будут продолжать генерировать плодотворные идеи.

Допускается также, что существуют доступные для'

обычного интеллекта эвристические акты меньшего масштаба, по существу являющиеся продолжением адаптационных способностей, присущих жизни вплоть до ее низших уровней. Мы уже видели, что, как только мы приходим-(или думаем, что приходим) в соприкосновение с реальностью, мы предвосхищаем неопределенное множество почерпнутых из этого соприкосновения будущих неожиданных подтверждений нашего знания, Интерпретативпая' схема образованного ума всегда настроена на встречу с-новым в чем-то опытом, готова к тому, чтобы иметь с иим дело отчасти новым способом. В этом смысле всякая жизнь. наделена оригинальностью, а оригинальность высшего порядка—это всего лишь увеличенная в масштабах форма всеобщей биологической приспособляемости. Однако гепшг соприкасается с реальностью в исключительно широком» спектре проблем: видение проблем и выявление скрытых. возможностей их разрешения далеко превосходят антици-пативные возможности бытующих концепций. Более того,

труд гения, реализуя антиципативные возможности в исключительной мере (далеко превосходящей те, которыми обладаем мы, видящие этот труд со стороны), широко демонстрирует нам творческое начало, которое нельзя ни объяснить терминами из каких-либо других областей, ни принять без всяких вопросов просто как нечто данное. Воздавая должное суждению другого человека как чему-то превосходящему наше собственное суждение, мы признаем и подчеркиваем оригинальность чужого суждения в том смысле, что его автор пришел к своему достижению с помощью недоступной для нашего анализа процедуры. Таким образом, встреча с гением заставляет нас признать творческую силу жизни: силу, которой мы можем пренебречь, да обычно ц пренебрегаем в ее вездесущих, но менее заметных проявлениях.

Выбирая проблему, исследователь принимает решение, сопряженное с риском. Задача может оказаться неразрешимой или слишком трудной. В таком случае его усилия будут затрачены впустую, а с ними и усилия его сотрудников, и вложенные в весь проект деньги. Но столь же бесплодной может оказаться «игра наверняка». Посредственные результаты не будут удовлетворительной отдачей на выделенные на работу в целом крупные средства, а может быть, даже не окупят тех денег, которые потрачены на получение самих этих результатов. Поэтому выбор задачи должен определяться не только предвосхищением чего-то скрытого, и тем не менее доступного. Он должен также исходить из оценки собственной способности исследователя я его сотрудников преодолевать ожидаемую трудность задачи; он должен основываться на разумном предположении относительно того, окупится ли решение, на которое исследователь надеется, будет ли оно достойно затраченного таланта, труда и денег. Формулировать примерные оценил возможности еще не известных, но предвидимых процедур, ведущих к также неизвестным, хотя и ожидаемым результатам, есть повседневная ответственная обязанность каждого исследователя, занимающегося самостоятельными научными илп техническими изысканиями. Он должен на этих основаниях сопоставить несколько различных возможных гипотез я отобрать из них наиболее многообещающую т том смысле, что к ее проверке легче будет приступить. "И, как я полагаю, опыт определенно говорит в пользу возможности получения таких достаточно достоверных оце-люк, на жовдрые можно вполне положиться.

it 82

12. Математическая эвристик»

Существуют три основные области знания, в которых возможны открытия: естествознание, техника и математика. Иллюстрируя ведущую к открытию способность предвосхищения, я ссылался на примеры в каждой из этих областей. Эта способность явно имеет одну и ту же природу во всех трех случаях. Однако философы уделяли внимание почти исключительно процессу эмпирического открытия в естествознании, пытаясь дать определение и обоснование процессу индукции. В противоположность этому» по-видимому, никто не пытался сделать тоже самое в отношении процесса, посредством которого создаются технические нововведения, например изобретаются новые машины.

В математике процесс открытия отчасти привлекал к себе внимание, а за последние годы исследовался как с логической, так и с психологической точек зрения. Однако* ни тот, ни другой подход не привел к постановке каких-либо эпистемологических вопросов, сопоставимых с темИг которые в течение столетий с таким усердием и настойчивостью рассматривались в связи с эмпирической индукцией. По моему мнению, всякая серьезная попытка проанализировать процесс открытия должна носить в достаточной-мере общий характер, чтобы быть применимой ко всем трем областям систематического знания. Мне хотелось бьт здесь внести некоторый вклад в эту программу путем описания и верификации способностей, на которые мы опираемся при решении математических задач. При этом я пока-отвлекусь от истории крупнейших математических открытий, изменявших самые основы математики, и ограничусь задачами, которые предлагаются студентам в процессе обучения их математике. Поскольку студенты не знают решений этих задач, процесс нахождения решения приобретает характерные черты открытия, хотя и не влечет за собой фундаментальных сдвигов в мировоззрении.

Тот факт, что обучение математике в большой мере опирается на практические навыки, показывает, что даже эта' наиболее высокоформализованная отрасль знания может быть освоена только путем овладения своего рода искусством. Это верно не только в отношении математики и формальной логики, но в равной мере в отношении всех математизированных дисциплин, например механики, электродинамики, термодинамики, а также основанных на исполь-163

зовании математики областях инженерной деятельности. Вы не сможете освоить ни одной из этих дисциплин, если не будете решать имеющихся в них конкретных задач. Во всех этих случаях вы будете добиваться определенного навыка, который заключается в преобразовании языка, усвоенного вами лишь пассивно, в эффективный инструмент, применимый и к новым предметным.областям: если говорить специально о математике, к решению математических задач.

Поскольку решение математических задач есть эвристический акт, своего рода прыжок, преодолевающий логический разрыв, то любое правило, какое можно здесь выдвинуть в качестве руководства, будет не более чем сводкой неких максим, интерпретация которых с необходимостью предполагает владение теми самыми навыками, к которым они относятся.

Простейшее эвристическое усилие — это поиск вещи,

•которую вы положили не на свое место. Когда я ищу свою авторучку, я знаю, что именно я хочу найти; я могу ее назвать и описать. Хотя о своей авторучке я знаю гораздо

•больше, чем могу даже вспомнить, тем не менее я в точности не знаю, куда я ее положил. Но саму-то ручку я знаю отчетливо, знаю и то, что она находится где-то внутри «определенной пространственной области, хотя и не знаю, где именно. Гораздо меньше я знаю о вещи, которую ищу, когда занимаюсь поисками слова, разгадывая кроссворд. 'В атом случае я знаю только, что в искомом слове столько-то букв и что оно означает, например, нечто крайне необходимое в Сахаре или вытекающее из крана. Эти характеристики суть просто ориентиры к слову, которого я с определенностью не знаю, — ориентиры, из которых я должен

•попытаться извлечь намек на то, каким может оказаться "неизвестное слово. Если же взять пример с именем, которое я хорошо знаю, но не могу вспомнить в данный момент, то этот пример лежит где-то посередине между двумя предыдущими случаями. Это имя более непосредственно предоставлено моему сознанию, чем неизвестное решение кроссворда, но оно, возможно, более удалено от него, чем авторучка и то неизвестное место, где она лежит. Математические задачи относятся к тому же классу, что и кроссворды, "ибо для решения такой задачи мы должны найти или сконструировать нечто, чего мы до сих пор не видели, имея в качестве ориентиров определенные данные.

Проблема может разрешаться с помощью систематической процедуры. Я могу быть уверен, что в конце концов

разыщу свою авторучку, если обследую дюйм за дюймом всю квартиру, в которой, как я знаю, она находится. Шахматную задачу я мог бы решить путем механического перебора всех сочетаний возможных ходов (своих и противника). Многие математические задачи тоже решаются с помощью систематических процедур, которые правда слишком трудоемки, чтобы их выполнять на практике'. Ясно, что любая из них приводит к решению без преодоления логического разрыва и не будет представлять собой эвристический акт2.

Различие между двумя типами решения задач, систематическим и эвристическим, воспроизводится в том факте, что, если систематическая операция есть всецело запрограммированный акт, эвристический процесс есть комбинация активных и пассивных фаз. На стадии подготовки имеет место сознательная эвристическая деятельность. Если после этого следует период созревания, то в продолжение этого периода на уровне сознания ничего не делается и ничто не происходит. Приход удачной мысли на стадии подготовки или после периода созревания есть плод предшествовавших усилий исследователя, но само по себе это не есть действие как таковое. Это то, что просто случается с ним. И снова проверка «счастливой мысли» в процессе верификации есть еще одно запрограммированное действие исследователя. Но даже если так, все равно решающий акт открытия, очевидно, совершился до этого, в момент, когда возникла счастливая мысль.

Хотя решение той или иной задачи есть нечто, с чем мы прежде никогда не встречались, тем не менее в эвристическом процессе это решение играет роль, подобную положенной не на свое место авторучке или забытому имени, которое мы хорошо знаем. Мы ищем это решение как что-ю такое, что уже перед нами имеется, как нечто пресуще-ствующее. О задачах, которые дают студентам, конечно,

' А. М. Тьюринг подсчитал число возможных конфигураций, которые необходимо принять во внимание в процессе решения весьма распространенной головоломки, состоящей в перемещении квадратных фишек с целью получения определенной фигуры. Получилось число 20922789888000. Если заниматься этой головоломкой непрерывно день и ночь и обозревать каждый вариант по одной минуте, процедура отнимает четыре миллиона лет (Turing А. М., — In "Science News", 1954, 3i).

2Но при этом мы не принимаем во внимание тот минимальный логический разрыв, который подразумевается в формальном процессе умозаключения.

мзвестно, что у яих есть решение; но вера в существование 'скрытого от нас решения, которое мы можем оказаться в состоянии найти, важна также при нашей встрече с никогда еще не решавшейся задачей и при работе над ной. •Эта вера определяет способ, посредством которого «счастливая мысль» в конечном счете находит себе выражение как нечто внутренне приемлемое в данном случае: не как одна из множества идей для размышления на досуге, но.как идея, убеждающая нас с самого начала. Вскоре мы.увидим на основании более подробного анализа рассматриваемого процесса, что эта вера есть необходимое следствие метода, которым стремление к эвристическому решению достигает своего осуществления.

Задача есть интеллектуальное желание («квазипотребность», но терминологии К. Левина), и, как всякое желание, она предполагает существование чего-то, что это желание может удовлетворить. В случае задачи это «что-то» есть ее решение. Всякое желание побуждает наше воображение рисовать картины возможных путей его удовлетворения и стимулируется в свою очередь вызванной им же самим игрой воображения. Точно так же мы, проникаясь интересом к задаче, начинаем размышлять о ее возможном решении, а размышляя, оказываемся все глубже поглощенными ею.

Одержимость проблемой в сущности есть главная пружина любой творческой активности. Когда ученики в шутку спросили И. П. Павлова, что им делать, чтобы стать «такими же, как он», он ответил им вполне серьезно, что для этого они должны, вставая по утрам, иметь перед со-€ой свою проблему, завтракать с ней, с ней же идти в лабораторию, там до и после обеда тоже удерживать ее перед собой, спать ложиться с этой проблемой в уме и сны видеть также о ней'.

Именно такая погруженность в свою проблему дает гению его вошедшую в пословицы способность- неустанно трудиться. Но и наша способность успешно реорганизовать свои мысли и в течение часов поиска и потом, в часы отдыха, возникает в результате нашей интенсивной погруженности в задачу2.

' Baker J. R. Science and the Planned State. London, 1945, p. 55. 2«После перерыва проясняются лишь те задачи, решения которых мы желаем всей душой или над решением которых мы напряженно работали» (П о и я. Д. Как решать задачу. М., Учпедгиз, с. 140).

Каков же объект этой напряженной озабоченности?' Как можем мы сосредоточить наше внимание на чем-то, чего не знаем? Но нас призывают именно к такому сосредоточению: «Всмотритесь в неизвестное,—восклицает Д. Пойа и продолжает: — Всмотритесь в конец. Помните о своей цели. Не забывайте о ней. Удерживайте в уме то, чего вы добиваетесь. Всегда имейте в виду цель, к которой вы стремитесь. Рассмотрите неизвестное. Рассмотрите заключение» 1. Никакой совет не может быть выразительнее.

Кажущийся парадокс разрешается тем фактом, что даже если мы и не найдем решения вообще, мы имеем его концепцию в том же самом смысле, в каком у нас есть представление о забытом имени. Направив свое внимание на фокус, в котором мы периферийным образом сознаем все частности, которые напоминают нам о забытом имени, мы создаем некоторое представление о нем. Сходным образом, фиксируя внимание на фокусе, в котором мы периферийно сознаем данные, определяющие решение задачи, мы формируем концепцию этого решения. Совет «смотреть на неизвестное» в действительности означает, что нам следует смотреть на известные данные, но не на сами по себе, а как на ключи к неизвестному, как на указатели направления к нему и как на ем части. Мы должны упорно добиваться того, чтобы почувствовать свой путь к пониманию способа, которым все эти известные нам данные связаны друг с другом и с неизвестным. Посредством таких интуитивных на-щупываний мы приобретаем уверенность в том, что неизвестное действительно имеется, что в своих существенных чертах оно задано тем, что о нем известно, и что оно может удовлетворить всем требованиям, которые к нему предъявляются по условиям задачи.

Все наши концепции обладают эвристической силой;

они всегда готовы идентифицировать новые данные опытов, видоизменяясь при этом так, чтобы охватить их.

Практика навыков пронизана изобретательностью. Ставя своей целью достижение успеха, мы вызываем в себе новые и новые способности. Проблема требует усилий обоих типов. Она включает в себя представление о чем-то, чего мы добиваемся, интеллектуальное стремление преодо-

' Там же, с. 166. Курсив в оригинале. К. Дункер пишет, что «... решение возникает из обсуждения того, что дано, с помощью того, что надо найти» (D u n с k e r К. Zur Psychologie des produkti-ven Denkens. Berlin, 1935, S. 13).

леть логический разрыв, по ту сторону которого лежит неизвестное, вполне зафиксированное нашим представлением о нем, хотя еще отнюдь не усмотренное само по себе. Поиск решения заключается в осуществляемых в уме прикидках о том, как его достигнуть. Это делается посредством двух операций, которые всегда должны выполняться совместно. Мы должны, во-первых, фиксировать проблему в адекватных ей символах, продолжая далее перестраивать способ ее представления с целью выявления ее новых информативных для дальнейшего исследования аспектов: во-вторых, покопаться в своей памяти с целью вспомнить какую-нибудь аналогичную задачу, решение которой уже известно.

Сфера этих операций, как правило, ограничена, с одной стороны, умением студента различными способами преобразовывать данные, а с другой — рамками родственных данной и знакомых ему теорем. В конечном счете успех в решении задачи будет зависеть от способности ощущать присутствие еще не выявленных логических связей между условиями задачи, известными теоремами и неизвестным, искомым решением. Если он в своем обдумывании задачи не руководствуется обнадеживающим ощущением приближения к решению, прогресса в его поисках не будет. Случайные догадки, хотя бы они и следовали лучшим правилам эвристики, будут безнадежно глупыми и в целом бесплодными.

Итак, процесс решения математической задачи на каждой своей стадии зависит от способности предугадывать скрытые в задаче возможности, от той способности, благодаря которой человек впервые понял задачу и затем принялся за ее решение. Д. Пойа сравнивал математическое открытие, состоящее из целой цепи последовательных шагов, с аркой, в которой устойчивость каждого камня зависит от присутствия других камней; и он отметил парадокс, заключенный в том, что камни фактически кладутся по одному за раз. И снова парадокс разрешается тем, что каждый последующий шаг еще неполного решения поддерживается тем же эвристическим предвосхищением, которое перед тем привело к изобретению этого шага; поддерживается ощущением, что в результате этого шага логический разрыв, зафиксированный в проблеме, стал более узким.

Это растущее ощущение приближения к решению задачи может быть испытано и в повседневном опыте, когда

мы пытаемся вспомнить забытое имя. Всем нам известно чувство возбуждения, возникающее, когда мы приближаемся к забытому слову. Оно выражается, когда мы все более уверенно заявляем: «Я его вот-вот вспомню» и (это, видимо, более поздняя стадия) «Оно у меня вертится на языке». Ожидание, выражаемое такими словами, часто подтверждается и фактами. Думаю, что аналогичным образом мы должны признать за собой способность как ощущать скрытое умозаключение в качестве доступного для нас на основе данных предпосылок, так и способность изобретать такие преобразования этих предпосылок, которые увеличивают доступность скрытого умозаключения. Мы должны признать также, что это признание ориентирует наши догадки в правильном направлении, в результате чего вероятность их попадания в цель, которая в другом случае была бы нулевой, становится столь высокой, что мы с определенностью можем полагаться на нее и на уровне интеллекта студента, и на уровне специальных знаний и одаренности

профессионального математика.

Чувство уменьшения логического разрыва, отделяющего нас от решения задачи, означает, что для достижения етого решения остается сделать меньше работы. Это чувство может также означать, что остальное решение будет сравнительно легким или что оно пойдет само собой поело того, как мы немного отдохнем. Тот факт стадии созревания, что наши интеллектуальные старания имеют реальный прогресс без какого-либо усилия с нашей стороны, согласуется с латентным характером знания вообще. Подобно тому как мы всегда знаем множество вещей, не думая о них постоянно, так же мы, естественно, продолжаем желать или бояться всякого рода вещей, не думая при этом о них все время. Мы знаем, как задуманная нами цель может позднее автоматически приводить к действию, например, когда мы ложимся спать, решив встать в определенное время. Постгипнотическое внушение может вызвать у человека скрытые процессы, которые, спустя несколько часов после окончания сеанса гипноза, побуждают его к выполнению требуемого от него действия'. В экспериментах Б. В. Зейгарник показано, что таким же образом и незавершенные действия продолжают нас неосознанно занимать. Память о них сохраняется и после

1Ach N. Determining Tendencies: Awareness. — In: R a pa-port D. Organization arid Pathology of Thought. N. Y., 1951, p. 17 ff.

того, как выполненные задания были забыты'. Хорошо известный опыт спортсменов, заключающийся в том, что период покоя, следующий за интенсивной тренировкой, ведет к улучшению показателей, свидетельствует о том факте, что внутреннее напряжение, вызванное в нас незавершенными заданиями, продолжает подталкивать нас в направлении его успешного выполнения. С этим согласуется и спонтанный успех поисков забытого имени или решения проблемы после промежутка, когда мы отвлечемся от этих поисков.

Предшествующие соображения объясняют также и тот способ, с помощью которого внезапно достигается окончательный успех в процессе решения задачи. Поскольку каждый шаг, продвигающий нас в решении задачи, независимо от того, является ли он спонтанным илп обдуманным, усиливает наше предчувствие близости решения, постольку мы все более сосредоточиваем наши усилия на устранении остающегося логического пробела. Таким образом, на заключительной стадии решения мы зачастую приближаемся к ответу самоускоряющимся образом, так что окончательное открытие может предстать перед нами как вспышка света.

Я уже говорил, что наши эвристические потребности, как и наши телесные влечения, подразумевают веру в существование чего-то, обладающего свойствами, которые требуются для нашего удовлетворения, и что те неопределенные ориентиры, которые руководят нашими стремлениями, выражают эту веру. Однако в случае эвристических потребностей то, что их удовлетворяет, не имеет физического существования. Это не есть некий скрытый объект, но еще не осознанная идея. Мы надеемся, что в ходе работы над данной проблемой идея предстанет перед нами или сразу вся целиком, или же шаг за шагом, постепенно. И лишь тогда, когда мы верим, что это решение существует, мы можем с энтузиазмом искать его, побуждая себя предпринимать эвристические шаги для его открытия. Итак, открытие, хотя бы предполагаемое, появляясь в ответ на наш поиск чего-то, как мы убеждены, наличествующего перед нами, всегда приходит к нам в сопровождении веры в то, что это открытие истинно. Оно предстает перед нами, заранее подкрепленное вызвавшей его эвристической потребностью.

' Е 1 И s W. D. A Source Book of Gestalt Psychology. London — N. Y., 1938, p. 300-314.

Даже самые дерзкие по своей оригинальности открытия следуют той же закономерности: они обязательно совершаются на основе допущения, что в них ничего нового не выдумано, но лишь выявляется то, что уже имелось. Их триумф подтверждает это допущение, ибо открываемое всегда чревато своими непредвиденными последствиями и Тем самым удостоверяет свою реальность. Математическая эвристика, стремясь к концептуальной реорганизации безотносительно к новому опыту, также (на своем собственном языке) дает пример того, как из интеллектуальной устремленности вытекает и ее уверенность в предчувство-ванип реальности, а также пример того, как эта уверенность находит свое подтверждение в окончательном решении, которое и «решает» именно потому, что успешно претендует на раскрытие определенного аспекта действительности. Здесь мы снова видим, что весь процесс открытия и его подтверждения основан в конечном счете на нашем же доверии к собственному видению действительности.

Приступая к разработке математической проблемы, мы беремся за карандаш и бумагу, и па стадии подготовки прикидываем на бумаге наши идеи посредством символических операций. Если это сразу не ведет к успеху, мы можем заново обдумать весь вопрос; возможно и то, что решение откроется неожиданно, гораздо позже, в момент «озарения». На деле же обычно такого рода проблески не дают окончательного решения. Они лишь намечают возможный путь к нему, который еще должен быть проверен. При атой проверке или выработке окончательного решения мы опять-таки должны основываться на эксплицитных символических операциях. Следовательно, как первые активные шаги в решении некоторой проблемы, так и решение в законченной форме ощутимо зависят от вычислений и прочих операций с символами, в то время как между этими двумя формальными процедурами лежит более неформальный акт, посредством которого преодолевается логический разрыв. Однако интуиция исследователя всегда остается доминирующей и решающей. Хорошие математики обычно умеют выполнять вычисления быстро и надежно, поскольку, не освоив этой техники, они не могли бы аффективно реализовать свои творческие способности, которые сами по себе, однако, проявляются в генерировании идей. Адамар говорит, что он обычно делал в вычислениях больше ошибок, чем его же ученики, но зато и быстрее обнаруживал эти ошибки, потому что замечал, что результаты не выгля-

дели верными; это почти так же, как если бы он своими вычислениями просто рисовал портрет концептуальных прообразов своих заключений \. Часто приводят слова Гаусса: «Решение у меня есть уже давно, но я еще не знаю, как к нему придти». Может быть, подлинность этой цитаты сомнительна, но сказано хорошо2. Подобная ситуация, несомненно, характерна для большинства тех случаев, когда мы открываем то, что, как мы полагаем, должно быть решением проблемы. В этот момент мы усматриваем решение, которое выглядит правильным, а потому мы надеемся его правильность доказать 3.

Способ, которым математик разрабатывает свой путь к открытию, переходя от упований на интуицию, к вычислениям и обратно, но -никогда не отказываясь ни от одного из этих двух средств, представляет в миниатюре весь спектр операций, посредством которых артикуляция дисциплинирует и расширяет возможности человеческого мышления. Это чередование «интуиции и вычисления» асимметрично, ибо формальный шаг может быть узаконен только благодаря нашему молчаливому его подтверждению. Сверх того, символический формализм сам по себе есть лишь воплощение предшествующих ему неформализованных способностей, это искусно созданное нашим неартикулированным «я» орудие для ориентации во внешнем мире. Следовательно, интерпретация исходных терминов и аксиом является в основном неартикулированной, и таков же процесс расширения и переосмысления значения этих терминов и аксиом, лежащий в основе прогресса математических знаний. Чередование интуитивного и формального зависит от неявных допущений, принимаемых как в начале, так и в конце каждой цепи формальных умозаключений.

' А д а м а р Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., «Сов. радио», 1970, с. 76—77.

2Д. Пойя («Математика и правдоподобные рассуждения») пишет: «Когда вы убедились, чю теорема верна, вы начинаете ее доказывать».

' Архимед в своем трактате «Метод» описывает процесс доказательства геометрических положений средствами механики. Этот процесс убеждал его, хотя в то же время он рассматривал его результаты как нуждающиеся еще в доказательстве, к которому ои затем и переходил (см.: В а н-д е р-В а р д е н Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Физматгиз,1959, с.295—299).