Лабораторна робота № 1-9 1 page

Балістичний крутильний маятник

л.1. §§ 31,32; 2.§§ 64,65

Мета роботи: вивчення законів динаміки обертового руху на прикладі вимірювання швидкості "снаряда" з допомогою балістичного крутильного маятника.

Прилади і матеріали: балістичний крутильний маятник з вмонтованим мілісекундоміром; досліджувальне тіло-”снаряд”.

Теоретичні відомості

Крутильний маятник у найпростішому варіанті являє собою горизонтальний стержень, підвішений на пружній нитці довжиною l. З допомогою крутильного маятника одержані фундаментальні результати в фізиці, а саме: виміряно гравітаційну сталу (Г.Кавендіш), вивчено закон взаємодії точкових зарядів (Ш.0.Кулон), виміряно тиск світла (П.І.Лебедєв). Крутильний маятник, являючись основним елементом прецезійних вимірювальних приладів, знаходить широке застосування і в сучасній дослідницькій практиці, наприклад, для вимірювання магнітної сприйнятливості, вивчення процесів внутрішнього тертя в твердих тілах і ін.

В даній лабораторній роботі з допомогою балістичного крутильного маятника вимірюється швидкість "снаряда" – тіла масою m, яке вистрілює стиснена пружина.

Схема досліду для визначення швидкості v "снаряда" зображена на рис. 1. Нехай плече імпульсу, тобто віддаль від осі обертання Z (вісь співпадає з ниткою) до лінії, вздовж якої рухається "снаряд", дорівнює r. Попадаючи в мішень, "снаряд" застрягає в пластиліні і рухається разом з мішенню. Таким чином, має місце абсолютно непружний удар. Обертання маятника відносно z описується рівнянням динаміки обертового руху:

(1)

де L_z – проекція моменту імпульсу системи на вертикальну вісь z;

M_z – проекція результуючого моменту сил на цю ж вісь.

До удару і безпосередньо після нього всі діючі сили (тяжіння, реакції) напрямлені вздовж осі z, тому проекція моменту цих сил рівна нулеві. Враховуючи це, з рівняння (1) одержуємо:

(2)

Звідки слідує, що L_z = const.

До удару маятник знаходився в стані спокою, а момент імпульсу "снаряда" був рівний mvr. Після удару маятник разом з "снарядом" обертається з початковою кутовою швидкістю w. Якщо в указаному на рис.1 положенні вантажів М (на віддалі R₂ від осі обертання) момент інерції маятника позначити через I₂, то момент імпульсу його безпосередньо після удару буде:

(3)

На основі закону збереження моменту імпульсу (2) можемо записати:

(4)

Маючи початковий момент імпульсу L_2Z, маятник повертається відносно осі Z, але внаслідок деформації кручення виникають пружні сили, момент яких M(j) залежить від кута повороту маятника j, що приводить до зменшення моменту імпульсу, а також кутової швидкості обертання. У той момент часу, коли кутова швидкість стає рівною нулю, кут повороту досягає максимального значення a, яке піддається безпосередньому вимірюванню. У процесі удару механічна енергія системи не зберігається, бо частина її перетворюється у внутрішню енергію тіл, які стикаються. Але після удару рух відбувається під дією пружних сил, а дисипативними силами, внаслідок малих значень лінійних швидкостей елементів маятника, можемо знехтувати. Тому надалі правомірне застосування закону збереження механічної енергії:

(5)

причому, безпосередньо перед ударом W_1П= 0, а при j = a W_1К = 0.

Кінетична енергія системи як енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, визначається за формулою:

(6)

Врахувавши всі ці висновки, закон збереження (5), приводить нас до співвідношення

(7)

де W_П(a) – є потенціальна енергія деформації при максимальному відхиленні маятника.

Тепер необхідно цю енергію явно виразити через кут a. При повороті на безмежно малий кут dj силами пружності виконується елементарна робота:

(8)

де знак "мінус" враховує, що момент сили протидіє зростанню кута повороту. Оскільки dW_П= – dA, то проінтегрувавши (8), одержуємо:

(9)

Вважаючи, що деформація має пружний характер, згідно з законом Гука запишемо:

(10)

де к – коефіцієнт кручення, що залежить від пружних властивостей нитки, її геометричної форми та розмірів.

Підстановка (10) в (9) дає:

(11)

Таким чином, закон збереження енергії (7) набуває форми:

(12)

Розв'язуючи сумісно рівняння (4) та (12) відносно швидкості v, одержуємо:

(13)

Для доведення співвідношення (10) розглянемо більш детально деформацію кручення нитки, вважаючи що модуль зсуву матеріалу її дорівнює G, а радіус – r₀. Виділимо в нижній основі частину кругового кільця радіусом x, товщиною dx з відповідним центральним кутом db (рис.2). Нехай в результаті кручення основа нитки повернулась на кут j, тоді твірна AC повернеться на кут g. При цьому виникне пружна напруга s, тобто дотична сила, що діє на одиницю площі нижньої основи, яка визначається за законом Гука:

З трикутників ОАВ та АВС (рис.2 ) знаходимо:

Враховуючи це, перепишемо закон Гука:

Знаючи механічну напругу s, можемо розрахувати силу, що діє на виділений елемент кільця площиною dS = x × dx × db:

Плече цієї сили дорівнює x, тому момент її дії буде:

Інтегруючи одержаний вираз по x від 0 до r₀, а також по b від 0 до 2p, одержуємо:

що співпадає з виразом (10), причому

У співвідношенні (13) величини a, m, r доступні безпосередньому вимірюванню. Але величини k та I₂ невідомі. Тому необхідно провести такі два незалежні досліди, з результатів яких ці невідомі можна було б визначити.

Звернемося до аналізу руху маятника під дією моменту пружних сил. Згідно з рівнянням динаміки обертового руху

Підставивши момент сили з (10), одержимо:

Таким чином, крутильний маятник здійснює гармонічні коливання, період яких визначається за формулою:

При віддаленні вантажів M від осі z на величину R₂ період крутильних коливань буде:

(15)

а якщо змістити вантажі на віддаль R₁, період зміниться і стане рівним

(16)

Використовуючи теорему Штейнера, визначимо моменти інерції маятника в цих випадках:

(17)

(18)

де I¢ – момент інерції важеля відносно осі z,

I₀ – момент інерції вантажів відносно вертикальної осі, що проходить через центр їх мас.

Розв'язуючи сумісно систему рівнянь (15-18), знаходимо:

, (19)

, (20)

Підстановка виразів (19) та (20) в (13) приводить до одержання основної розрахункової формули швидкості:

, (21)

Таким чином, знаходження швидкості "снаряду" з допомогою балістичного крутильного маятника зводиться до безпосереднього вимірювання таких величин:

1. Маси вантажів М, маси "снаряду" m та плеча імпульсу "снаряда" r.

2. Максимального кута повороту маятника a після пострілу.

3. Періодів T₁ і T₂ гармонічних коливань при двох положеннях вантажів M відносно осі R₁ і R₂.

Порядок виконання роботи

1. Ознайомитись з будовою та принципом дії лабораторної установки. Підготувати її до роботи.

2. Розташувати вантажі M на мінімальній віддалі R₂ від осі маятника та виміряти цю віддаль.

3. Встановити маятник так, щоб риска на мішені співпадала з нульовою поділкою кутової шкали.

4. Виконати постріл, виміряти кут a максимального відхилення маятника та віддалі r.

5. Клавішею "Сеть" ввімкнути лічильник часу.

6. Відхилити маятник на деякий кут j, клавішею "Сброс" деблокувати лічильник часу та відпустити маятник.

7. Після здійснення N =10 повних коливань клавішею "Стоп" зупинити відлік та заміряти час t цих коливань.

8. Розташувати вантажі М на максимальній віддалі R₁ від осі маятника та заміряти цю віддаль.

9. Повторити вимірювання за пунктами 3 та 4.

10. Кожне з вимірювань за пунктами 3, 4 та 5, 7 виконати 3-5 разів. Результати вимірювань, а також значення мас вантажів M та "снаряда" m занести в таблицю.

Обробка результатів вимірювань

1. Вирахувати періоди T₁ і T₂ за формулою T = t / N.

2. Визначити середні значення T₁ і T₂ а також абсолютні похибки DT₁ і DT₂.

3. За робочою формулою (21) вирахувати швидкість "снаряда".

4. Користуючись методом розрахунку похибок непрямих вимірювань, знайти абсолютну та відносну похибки.

Додаткові та дослідницькі завдання

1. Дослідити залежність періоду коливань T від кута відхилення j.

2. Змінюючи віддаль R вантажів від осі маятника, дослідити залежність T від R. Результати зобразити графічно в координатах T²= f (R²).

3. Оцінити модуль зсуву G нитки маятника.

Контрольні запитання

1. Сформулюйте визначення понять моменту імпульсу, моменту сили, моменту інерції.

2. Виведіть рівняння динаміки обертового руху, закон збереження моменту імпульсу.

3. Які закони динаміки використовуються при виведенні робочої формули (21)? Обгрунтуйте їх застосування.

4. Виведіть робочу формулу (21).

5. Запропонуйте незалежний спосіб визначення швидкості “снаряда” в даній роботі.

Лабораторна робота №1-10

Визначення моментів інерції тіл на основі

закону збереження енергії

л.1. §§ 24, 32, 33

Мета роботи: експериментальна перевірка закону збереження енергії в механіці шляхом визначення моментів інерції тіл кочення.

Прилади і матеріали: установка для визначення моментів інерції тіл; набір тіл кочення; терези; штангенциркуль; лінійка.

Теоретичні відомості

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, справедливим для систем як макроскопічних тіл, так і для елементарних частинок. Він є вираженням вічності й незнищуваності руху в природі, який лише переходить із однієї форми в іншу. Цей закон полягає в слідуючому: в ізольованій системі тіл енергія може переходити із одних видів в інші та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається незмінною.

Якщо в ізольованій системі діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву ізольованої консервативної системи і для неї дійсний закон збереження та перетворення енергії в механіці: механічна енергія ізольованої консервативної системи тіл не змінюється в процесі її руху:

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до систем, в яких діють сили тертя або існує залишкова (пластична) деформація, так як частина механічної енергії в процесі руху розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи називаються дисипативними.

Нехай тіло масою m скочується без тертя по похилій площині висотою h. Опором повітря знехтуємо. Так як в цьому випадку діє тільки сила тяжіння, яка є потенціальною (консервативною), то це тіло являє собою ізольовану консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії:

(1)

Потенціальна енергія вираховується за формулою:

(2)

Кінетична енергія тіла визначається як сума кінетичної енергії поступального та обертового рухів:

(3)

де I – момент інерції тіла,

w – його кутова швидкість.

З рівнянь (1)-(3) одержуємо:

(4)

Кутова швидкість обертання тіла зв'язана з швидкістю його поступального руху співвідношенням:

(5)

де R – радіус тіла.

Рух тіла рівномірноприскорений, тому

υ = at; (6)

(7)

де S – довжина похилої площини;

t – час скочування тіла.

З формул (6) і (7) одержуємо:

(8)

Підставивши вирази (5) та (8) в (4) і, розв’язавши рівняння відносно I, одержимо:

. (9)

Таким чином, визначення моменту інерції тіла кочення зводиться до вимірювання його маси, радіуса, висоти похилої площини, довжини шляху та часу скочування.

Але момент інерції тіл правильної форми можна розрахувати теоретично. Дійсно, момент інерції безмежно малого елемента з масою dm відносно осі виражається формулою:

(10)

де r_i – віддаль елемента до осі обертання.

Для знаходження моменту інерції тіла його розбивають на безмежно велике число безмежно малих елементів, вираховують момент інерції кожного елемента, потім момент інерції тіла визначають сумою моментів інерції всіх його елементів. Ця операція зводиться до інтегрування:

. (11)

Вирахуємо момент інерції однорідного циліндра відносно осі z, що проходить через центр маси тіла (рис.1). Для цього виділимо елемент о6’єму циліндра в вигляді кільця завтовшки dr, його об’єм буде:

(12)

тоді:

(13)

Значення dm з формули (13) підставляємо в формулу (11) та інтегруємо:

де m – маса тіла;

R – радіус тіла.

Цим способом можна визначити момент інерції будь-якого іншого однорідного тіла правильної форми; результати для найбільш часто поширених тіл приводяться в таблиці 1.

Таблиця 1.

Тіло	Момент інерції
Однорідний циліндр
Однорідна куля
Тонкостінний циліндр
Диск з отвором

Порядок виконання роботи

Лабораторну роботу виконують на установці, що являє собою похилу площину, висоту якої можна змінювати. Після ввімкнення установки в мережу досліджуване тіло утримується в верхній частині похилої площини з допомогою електромагніта. Після вимкнення живлення електромагніта тіло починає скочуватись і одночасно вмикається секундомір, який вимикається автоматично тілом, що скочується в кінці похилої площини. При виконанні роботи необхідно:

1. Спочатку виконати кілька тренувальних пусків тіла; добитись, щоб тіло при скочуванні не торкалось бортиків похилої площини; переконатись у справності секундоміра.

2. За вказівкою викладача для кожного з досліджуваних тіл (куля, циліндр та ін.) виконати 3-4 вимірювання часу скочування. Знайти середній час скочування кожного тіла.

3. Заміряти довжину похилої площини та її висоту.

4. Зважити досліджуване тіло та виконати необхідні вимірювання. Всі результати занести в таблицю 2.

Таблиця. 2

Обробка результатів експерименту та їх аналіз

1. За формулою (9) вирахувати момент інерції досліджуваного тіла експериментальним способом.

2. За формулою з таблиці 1 для відповідного тіла вирахувати момент інерції теоретично.

3. Результати експериментальні і теоретичні співставити між собою та зробити висновки.

4. Знайти абсолютну та відносну похибки експерименту.

Контрольні запитання

1. Тверде тіло як система матеріальних точок, його момент інерції і кінетична енергія.

Лабораторна робота № 1-11

Маятник Максвелла.

л. І. §§ 24, 32, 33

Мета роботи: експериментальне дослідження закону збереження енергії на прикладі визначення моменту інерції металічних кілець.

Прилади і матеріали: маятник Максвелла; набір кілець.

Теоретичні відомості

Закон збереження та перетворення енергії є одним з фундаментальних законів природи, що справджується як для систем макроскопічних тіл, так і для систем елементарних частинок. Він полягає в тому, що для ізольованої системи тіл енергія може переходити з одного виду в інший та передаватися від одного тіла до іншого, але її загальна кількість залишається сталою.

Якщо в ізольованій системі тіл діють тільки потенціальні (консервативні) сили, то взаємні перетворення механічної енергії в інші види (немеханічні форми) відсутні. Така система носить назву консервативної і для неї має місце закон збереження та перетворення механічної енергії: механічна енергія ізольованої консервативної системи не змінюється в процесі її руху

Закон збереження механічної енергії не можна застосовувати до ізольованих систем, в яких діють сили тертя чи існують залишкові (пластичні) деформації, бо частина механічної енергії розсіюється, перетворюється в немеханічні форми, наприклад, в теплоту. Такі системи звуть дисипативними.

Розглянемо закономірності перетворення енергії в системі, до складу якої входить масивне тіло, що обертається, падаючи з певної висоти h під дією сили тяжіння. Якщо знехтувати опором повітря, то дане тіло являє собою консервативну систему, до якої можна застосувати закон збереження механічної енергії, тобто його повна механічна енергія в процесі руху залишається величиною сталою:

(1)

Зростання кінетичної енергії тіла під час падіння відбувається за рахунок зменшення потенціальної. В нашому випадку кінетична енергія тіла складається з енергії поступального та енергії обертального рухів:

(2)

де m – маса тіла;

υ – швидкість поступального руху центра мас;

I – момент інерції тіла;

w – кутова швидкість обертання.

Частину потенціальної енергії яка перетворилась в кінетичну, можна визначити за формулою:

(3)

де h – висота падіння тіла;

g – прискорення вільного падіння.

Згідно з законом збереження механічної енергії запишемо:

(4)

Використовуючи цю формулу, можемо експериментально знайти момент інерції тіла:

(5)

В останній формулі виразимота w через величини, що піддаються безпосередньому вимірюванню.

Так як під дією постійної сили рух тіла рівномірно прискореним, можна записати:

(6)

(7)

де a – прискорення,

t – час падіння тіла.

З формул (6) та (7) одержуємо

(8)

Лінійна швидкість зв'язана з кутовою співвідношенням

(9)

Підставивши вирази (8) і (9) в формулу (5) та зробивши перетворення, одержуємо:

, (10)

де D – зовнішній діаметр вісі маятника;

m – маса тіла, що обертається і складається з вісі маятника масою m_c, ролика масою m_p та одного з змінних кілець масою m_k,тому m=m₀+m_p+m_k.

Зовнішній діаметр вісі маятника необхідно визначати разом з намотаною на нього ниткою підвісу.

D = D₀ + 2 D_н,

де D₀ – діаметр вісі маятника,

D_H – діаметр нитки підвісу.

Таким чином, за формулою (10) можна експериментально знайти момент інерції маятника Максвелла, враховуючи зроблені зауваження відносно m та D і виконавши необхідні вимірювання.

Моментом інерції механічної системи відносно нерухомої вісі a звуть фізичну величину I_a, що рівна сумі добутків мас всіх n матеріальних точок системи на квадрати їх віддалі до вісі обертання:

Момент інерції тіла можна розрахувати за формулою:

,

де dm=rdV – маса малого елемента об'єму тіла;

r – густина;

r – віддаль від елемента dV до осі a.

Якщо тіло однорідне, тобто густина його скрізь однакова, то

Момент інерції тіла є мірою інертності його в обертовому русі навколо нерухомої вісі, аналогічно масі, що є мірою інертності в поступальному русі тіла.

Момент інерції тіла відносно якої-небудь осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але й від положення його відносно цієї осі. Згідно з теоремою Штейнера (теорема про паралельне перенесення осей) момент інерції тіла I відносно будь-якої осі обертання дорівнює сумі моменту інерції I_C відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр маси, та добутку маси тіла на квадрат віддалі між осями:

I=I_c+md².

Моменти інерції деяких однорідних тіл найпростішої форми відносно певних осей наведені в слідуючій таблиці:

Теоретично момент інерції маятника Максвелла можна визначити як суму моментів інерції його складових елементів, тобто:

(11)