Методом простых итераций определить корень уравнения

,

(2)

где - решение задачи Коши

, .

(3)

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

1) Решить на интервале [ x_n, x_k ] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение (3) первого порядка y′ = f (x, y) при начальных условиях y (x₀)= y₀ методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

2) Построить диаграмму с графиками найденных решений (тип графика для метода Эйлера – отдельные точки, для метода Рунге-Кутта – гладкая кривая).

3) С помощью интерполяционного полинома Ньютона аппроксимировать функцию y (x) полиномом третьей степени P₃ (x) в окрестности точки пересечения y (x₀) с осью абсцисс, для чего:

- из таблицы значений y (x₀), найденной по методу Рунге-Кутта 4-го порядка, выбрать четыре последовательные точки, ближайшие к оси абсцисс и расположенные по обе стороны от нее;

- по выбранным четырем узловым точкам построить интерполяционный полином Ньютона P₃ (x);

- подстановкой в полином P₃ (x) значений абсцисс узловых точек проверить правильность найденных его коэффициентов на выполнение условий Лагранжа.

4) Методом простых итераций c точностью найти корень уравнения P₃ (x)= 0. Для использования метода простых итераций преобразовать уравнение P₃ (x)= 0 к виду x=P₃ (x)+ x и найти значение коэффициента С, обеспечивающее сходимость метода.

Найденный корень уравнения P₃ (x)= 0 рассматривать как приближенное решение уравнения (2) и в целом задачи 2.

Дифференциальное уравнение, начальные условия и промежуток интегрирования уравнения выбираются из таблицы 2 по номеру подгруппы и номеру студента в журнале подгруппы.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА ПО КУРСОВОЙ РАБОТЕ

В отчет по курсовой работе необходимо включить следующие разделы:

1 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ.

1.1 Задача 1

1.1.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.

1.1.2 Формулы расчета коэффициентов аппроксимирующей кривой по методу наименьших квадратов, EXCEL –таблица и ее описание.

1.1.3 Аналитический вид полученной функции g (x) и совместный график «функция g (x) + экспериментальные точки».

1.1.4 Полная аналитическая запись и график функции F (g (x), x).

1.1.5 Формулы вычисления определенного интеграла методами средних прямоугольников и трапеций, уточнения по Ричардсону, EXCEL –таблица и ее описание.

1.1.6 Погрешности вычисленных значений и их анализ.

1.1.7 Вычисленное значение интеграла.

2 Задача 2

2.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.

2.2 Формулы численного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта, EXCEL -таблица и ее описание.

2.3 Графики полученных решений задачи Коши для обоих методов на одной диаграмме.

2.4 Исходные данные и формулы вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона, EXCEL -таблица и ее описание.

2.5 Найденные коэффициенты полинома P ₃(x), проверка выполнения условий Лагранжа и полная запись P ₃(x).

2.6 Приведение уравнения P ₃(x)=0 к виду, необходимому для использования метода простых итераций с условием его сходимости.

2.7 Формула вычислительного процесса метода простых итераций, критерий окончания процесса, EXCEL -таблица и ее описание.

2.8 Найденный корень уравнения.