Делимость чисел

1.1)Написать наименьшее трёхзначное число, кратное 3, так, чтобы первая цифра его была 7 и все цифры были бы различны;

2)Написать наименьшее пятизначное число, кратное 9, так, чтобы первая цифра его была 5 и все цифры были бы различны.

2.1)Какая цифра стоит в конце числа, выражающего произведение

2)На какую цифру оканчивается произведение всех нечётных чисел от 1 до 2009?

3.1)Заменить звёздочки цифрами так, чтобы число

2)Какую цифру надо приписать слева и справа к числу 23, чтобы получилось число, кратное 36?;

3)К числу 157 добавить справа две цифры так, чтобы полученное пятизначное число делилось на 36. Найти все такие числа;

4)Найдите наименьшее десятизначное число, у которого все цифры различны и которое делится на 4; 5 и 9.

4.1) У ученика был 1 лист бумаги. Он разорвал его на 4 части, некоторые из частей ещё разорвал на 4 части и т. д. При подсчёте выяснилось, что таких частей всего 2010.

Доказать, что ученик ошибся в подсчёте;

2)Имеется 3 листа бумаги. Некоторые из них разрывают на 3 части, из полученных листков некоторые снова разрывают на 3 части и т.д. При подсчёте оказалось 100 листков. Правильно ли был произведён подсчёт?

5.1) Найдите наименьшее и наибольшее трёхзначные числа, произведение цифр которых равно 12;

2)Произведение двух взаимно- простых чисел равно 200. Найдите эти числа;

3) Можно ли число 91 представить в виде суммы нескольких чисел, произведение которых также равно 91?

6. На доске записаны 10 простых чисел, каждое из которых больше двух. Может ли их сумма равняться 71?;

7. Можно ли разложить 1000 арбузов в 17 корзин, расставленных по кругу, так, чтобы в любых двух соседних корзинах число арбузов отличалось на 1?

8.1)Изучением свойств простых чисел занимался русский математик Пафнутий Львович Чебышев. Он доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое большим, всегда имеется не менее одного простого числа. Проверьте это на примере нескольких чисел;

2)Знаменитый учёный Леонард Эйлер (1707-1793), швейцарец по национальности, большую часть своей жизни проработавший в Петербургской академии наук, много сил отдавал изучению натурального ряда чисел. Одним из первых он высказал догадку, что всякое чётное натуральное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Проверьте это на примере нескольких чисел;

3)Знаменитый учёный Христиан Гольдбах (1690-1764), работавший в Петербургской академии наук, высказал догадку (в 1742 г.), что любое натуральное число, большее 5, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Проверьте это на примере нескольких чисел.

9. Сторож дежурит сутки после трёх суток отдыха. Каждый раз начинает дежурить утром. Он дежурил в воскресенье. Через сколько дней ему снова придётся дежурить в воскресенье?

10. Частное от деления большего числа на меньшее равно 4. Во сколько раз наименьшее общее кратное этих чисел больше их наибольшего общего делителя?

11. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 пряников? Сколько конфет, орехов и пряников будет в каждом пакете?

12. Найдите два числа, сумма которых 432, а наибольший общий делитель равен 48.

13.1) Найдите два числа, если их сумма 667, а частное от деления их наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель равно 120.

2) Найдите два числа, если их сумма 819, а частное от деления их наименьшего общего кратного на наибольший общий делитель равно 224.

14.Найдите два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на наибольший общий делитель равна 18, а их наименьшее общее кратное 975.

1 вариант.

1. Из 48 красных и белых гвоздик составили букеты так, что на каждые 7 красных гвоздик пришлось 5 белых. Сколько было красных и белых гвоздик в отдельности?

2. Какое наибольшее число одинаковых комплектов можно составить из ёлочных игрушек, если имеется: 8 зайцев, 24 лисицы, 16 морковок и 48 яблок? По скольку зайцев, лисиц, морковок и яблок будет в каждом комплекте?

3. Два автобуса одновременно отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного рейс туда и обратно длится 48 минут, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой площади?

4. Теплоход «Суворов» свой рейс туда и обратно совершает за 8 дней, теплоход «Горький» - за 12 дней, а теплоход «Киров» - за 18 дней. Через сколько дней теплоходы снова встретятся в порту, если они ушли в рейс одновременно?

5. В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 21 зубец, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать педаль, чтобы шестерни вернулись в своё первоначальное положение?

6. Мальчик раскладывал орехи. Когда он их раскладывал по 2, по 3, по 4, по 5 и по 6, то каждый раз оставался один орех. Сколько было орехов у мальчика, если известно, что их было менее 100?

Вариант.

1. Из 65 красных и белых роз составили букеты так, что на каждые 8 красных роз пришлось 5 белых. Сколько было красных и белых роз в отдельности?

2. Какое наибольшее число одинаковых комплектов можно составить из ёлочных игрушек, если имеется: 9 зайцев, 27 лисицы, 18 морковок и 54 яблок? По скольку зайцев, лисиц, морковок и яблок будет в каждом комплекте?

3. Пароходы первой линии отправляются из гавани через каждые 12 дней; пароходы второй линии отправляются из той же гавани через каждые 28 дней. 1 июня два парохода обеих линий покинули одновременно гавань. Найдите ближайший день, когда пароходы снова отправятся в плавание одновременно?

4. На некоторую остановку прибыли одновременно трамвай, автобус и троллейбус. Через сколько времени эти машины снова встретятся на этой остановке, если трамвай совершает рейс за 1ч 30 мин., автобус за 2 ч, троллейбус за 1 ч?

5. В детском велосипеде шестерня заднего колеса имеет 20 зубцов, а шестерня педали 44 зубца. Какое наименьшее число оборотов должна сделать шестерня заднего колеса, чтобы шестерни вернулись в своё первоначальное положение?

6. В корзине лежит меньше 100 яблок. Их можно разделить между двумя, тремя и пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок в корзине?

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями.

1.Сократите дробь: ;

2.Выполните действия: ;

3.Путник в первый час прошёл 3 км, что на 1 меньше, чем во второй час, и на км больше, чем в третий час. Сколько километров прошёл путник за эти три часа?

4.Найдите значение выражения: 10

5.Упростите выражение 8 и найдите его значение при b = 1 .

6.Туристы шли три дня. В первый день они прошли 40% всего пути, во второй день всего пути, а в третий – оставшиеся 8 км. Найдите длину всего пути.

7.Кладовщик выдал по первому ордеру всей имевшейся на складе проволоки, а по второму ордеру всей проволоки. Сколько килограммов проволоки было на складе, если по первому ордеру было выдано на 25 кг больше, чем по второму?

8.Решите уравнение: = 4 ;

9.Из бочки вылили находившегося там керосина, а затем ещё 60 л, после чего оказалось, что бочка заполнена керосином на одну треть. Какова вместимость бочки?

10.Сумма четырёх чисел 320, первое число составляет этой суммы, второе число - первого числа, а третье число - суммы оставшихся двух чисел. Найдите эти числа.

Устный зачёт по теме: «Обыкновенные дроби»

1.Основное свойство дроби (пример).

2.Сокращение дробей (пример).

3.Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю (пример).

4.Сравнение дробей с разными знаменателями (пример).

5.Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями (пример).

6.Сложение смешанных чисел (пример).

7.Вычитание смешанных чисел (пример).

8.Умножение обыкновенной дроби на число (пример).

9.Умножение обыкновенных дробей (пример).

10.Умножение смешанных чисел (пример).

11.Нахождение дроби от числа (пример).

12.Умножение смешанного числа на натуральное число (пример).

13.Взаимно обратные числа (пример).

14.Деление обыкновенных дробей (пример).

15.Нахождение числа по его дроби (пример).

16.Дробные выражения (пример).

1 вариант.

1. Выполните действия: а) ; б) .

2. Собственная скорость катера равна 16 км/ч, а скорость течения реки км/ч. Какое расстояние проплывёт катер, если будет двигаться 7 часов по течению реки?

3. Сумма двух чисел равна 25 Первое число больше второго в 4 раза. Найдите эти числа.

4. Найдите неизвестное число:

а) •(; б) = .

5. Расстояние между двумя городами равно 490 км. Из этих городов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 2 часа. Определите скорость первого поезда, если известно, что она меньше скорости второго поезда на 1 км/ч.

6. Длина отрезка АС составляет 26% длины отрезка АВ. Найдите длину отрезка АВ, если ВС больше АС на 2,4 м.

Самостоятельная работа

«Отношения, прямо и обратно пропорциональная зависимость».

1.Найдите отношение 1,5 м к 60 см.

2. Для класса купили тетради в клетку и в линейку. Отношение числа тетрадей в клетку к числу тетрадей в линейку равно 3:11. Какую часть числа всех тетрадей составляют тетради в клетку? Каких тетрадей больше и во сколько раз?

3. Для строительства стадиона пять бульдозеров расчистили площадку за 2 часа 20 минут. За какое время семь бульдозеров расчистят эту площадку?

4.Отношение чисел . Найдите отношение .

5.Десять насосов за десять минут выкачивают десять тонн воды. За сколько минут двадцать пять насосов выкачают двадцать пять тонн воды?

6.Цена игрушки понизилась на 60%. На сколько процентов следует повысить новую цену, чтобы она сравнялась с первоначальной?

7. Сосуд ёмкостью 30 л наполнен обезвоженной кислотой. Часть этой кислоты отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же жидкости, сколько в первый раз кислоты, и сосуд опять долили водой. После этого в полученном растворе оказалось кислоты вчетверо меньше, чем воды. Сколько литров кислоты отлили из сосуда в первый раз?

Отношения, прямо и обратно пропорциональная зависимость.

1.Банк за год начисляет 20% на вложенную сумму. Какую сумму вкладчик внёс на счёт, если через год на счету оказалось 1920 р.?

2. Школьная библиотека закупила учебники математики и русского языка, причём учебники математики составили 62% всех закупленных книг, а учебников русского языка было 57 штук. Сколько всего учебников приобрела библиотека?

3.С помощью тринадцати одинаковых труб бассейн заполняется водой за 1час 18 минут. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью восемнадцати таких же труб?

4. Для переноса мебели в школу пяти ребятам потребовалось 1 час 10 мин. Сколько времени потребуется десяти ребятам для переноса той же мебели в школу?

5.Отношение чисел . Найдите отношение

6.Десять насосов за десять минут выкачивают десять тонн воды. За сколько минут двадцать насосов выкачают пятьдесят тонн воды?

7.Два землекопа за два часа выкопают два метра канавы. Сколько землекопов за восемь часов выкопают двенадцать метров канавы?

8 Утром было продано 28% товара, днём -- в два раза больше, а вечером – оставшиеся 32кг. Сколько всего килограммов товара было продано?

9. На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. На сколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

10. Для выполнения плана в срок цех должен задействовать 80% мощности. Сколько процентов мощности должен задействовать цех, чтобы к тому же сроку перевыполнить план на 20%?

11. Для стада коров фермер заготовил корма на 30 дней. На сколько дней хватит этих кормов, если поголовье сократится на 20%, а дневная норма расхода кормов увеличиться на 15%?

12.Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

13.Кусок сплава весом 700 г, содержащий 80% олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

Действия с рациональными числами.

1 вариант 2 вариант

1. Выполните действия:

1) -27 -19 + 31,5; 1) -81 -33 +41,8;

2) –(-(-(-305))) + 4 - – (+ 18 ); 2) –(-(-(-409))+4

2. Решите уравнения:

1 + х = 71 ; 1) + х = 83 ;

2) 208 - х = 31 ; 2) 304 - х = 31

3) -17 - х = 27 ; 3) -109 - х = 39

3. Упростите выражение и найдите его значение:

1) – 517 - (16 + а), если а = 17 ; 1) – 509 - (29 + а), если а = 19 ;

2) ⦁ (5 – с) + 49с, если с = 29 ; 2) ⦁ (5 – с) + 38с, если с = 36 ;

4.В магазин завезли яблоки, груши и сливы. 4.В теплице выращивают помидоры, огурцы и

Масса яблок составляет всех фруктов, масса кабачки. Помидоры занимают её площади,

слив в 4 раза меньше, чем масса яблок. Сколько под огурцы отвели площадь в 3 раза меньше, чем

килограммов фруктов завезли в магазин, если под помидоры. Какова площадь теплиц, если

груш было 280 кг? кабачками занято 120 ?

5.Решите уравнения:

1) = 5 ; 1) = 7 ;

2) =26 ; 2) = 27 ;

3) =24; 3) =25.

Самостоятельная работа по теме

«Степень с натуральным показателем и её свойства».

1.Представьте в виде степени с основанием 216.

2.Найдите значение выражения: а) б) .

3. Решите уравнение: .

4. Зная, что найдите значение выражения: .

5. Зная, что , сравните с нулём значение выражения: .

6. Вычислить: а) ; б) .

7. Решите уравнение с параметром : .

Решение задач, связанных с процентами.

Часть 1.

1.Найдите число, 12% которого равны 156.

а) 130 б)1144 в) 1300 г) 18,72 д) 11,44

2.Яблоки разложили по трём корзинам. В первую вошло всех яблок, во вторую 40% всех яблок, а в третью - остальные 40 кг. Сколько килограммов яблок было?

Ответ: _________

3.В первый день магазин продал 32% имевшегося сатина, во второй день 15,5 % от остатка. После этого осталось 689,52 м. Сколько сатина поступило в магазин? а) 1200 м б) 491 м в) 600 м г) 120 м д) 524 м

4.Учащиеся младших классов составляют 45% всех учащихся школы. Учащиеся с 5 по 9 классы на 130 % больше, чем 10- 11 классов. Сколько в школе старшеклассников, если в ней учится 1500 человек? Ответ: _________

5.Найдите число, если 12,5% его имеют значение .

а) 192 б) 300 в) 3 г) 19,2 д)30

6.Когда продали 122,5 м ткани, то оказалось что продали 35%. Сколько метров ткани осталось?

Ответ: _________

7.Найдите 75 % от корня уравнения

а) 15 б) 1,5 в) 0,3 г) 0,15 д) 3

8. Масса 15 одинаковых деталей 37,5 кг. Количество деталей увеличили на 140%. Сколько такое количество деталей будет весить? Ответ: _________

Часть 2(с полным решением).

9. Рабочий увеличил дневную выработку на 27 деталей и стал обрабатывать 297 деталей в день. На сколько процентов увеличилась производительность труда?

10. Слиток сплава серебра с цинком весом в 3,5 кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом в 10,5 кг, содержание серебра в котором 84%. Сколько процентов серебра содержалось во втором слитке?

Самостоятельная работа на повторение по курсу 6 класса.

1.Выполните действия: .

2. Большая коробка вмещает 30 конфет, а маленькая – 18 таких же конфет. Найдите наименьшее число конфет, которые можно разложить как в большие коробки, так и в маленькие.

3. Петя, Ваня и Миша собирали грибы. Петя собрал всех грибов, Ваня - оставшегося количества, а Миша – 56 грибов. Сколько всего грибов собрали три мальчика?

4. Решите уравнение: .

5. 90% от 20% числа в равны 9,9. Найдите число в.

6. НОК (а;b) = 1995, НОД (а;b) = 95. Числа а и b не делятся друг на друга нацело. Найдите эти числа.