Вещественные числа

Формат с плавающей точкой использует представление пк вещественного числа R в виде произведения мантиссы т на основание системы счисления п в некоторой целой степени р, которую называют порядком: R = т * п^p.

Представление числа в форме с плавающей точкой неодно­значно. Например, справедливы следующие равенства:

25,324 = 2,5324•10¹ = 0,0025324•10⁴ = 2532,4• 10² и т. п.

В компьютере используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в нормализо­ванном представлении должна удовлетворять условию: 0,1 _р< т < 1_р. Иначе говоря, мантисса меньше единицы и пер­вая значащая цифра — не ноль.

В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содержащее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся). Следовательно, внутреннее представление веще­ственного числа сводится к представлению пары целых чисел: мантиссы и порядка.

В разных типах компьютеров применяются различные вари­анты представления чисел в форме с плавающей точкой. Для примера рассмотрим внутреннее представление вещественного числа в 4-х байтовой ячейке памяти.

В ячейке должна содержаться следующая информация о числе: знак числа, порядок и значащие цифры мантиссы.

Маш. Порядок МА НТИ ССА

1-й байт 2-й байт 3-й байт 4-й байт

В старшем бите 1-го байта хранится знак числа: 0 обознача­ет плюс, 1 — минус. Оставшиеся 7 битов первого байта содер­жат машинный порядок. В следующих трех байтах хранятся значащие цифры мантиссы (24 разряда).

В семи двоичных разрядах помещаются двоичные числа в диапазоне от 0000000 до 1111111. Значит, машинный порядок изменяется в диапазоне от 0 до 127 (в десятичной системе счис­ления). Всего 128 значений. Порядок, очевидно, может быть как положительным так и отрицательным. Разумно эти 128 значений разделить поровну между положительными и отрица­тельными значениями порядка: от -64 до 63.

Машинный порядок смещен относительно математическо­го и имеет только положительные значения. Смещение выби­рается так, чтобы минимальному математическому значе­нию порядка соответствовал нуль.

Связь между машинным порядком (М_р) и математическим (р) в рассматриваемом случае выражается формулой:

М_р = р + 64.

Полученная формула записана в десятичной системе. В дво­ичной системе формула имеет вид: Мр₂ = р₂ + 100 0000₂.

Для записи внутреннего представления вещественного числа необходимо:

1) перевести модуль данного числа в двоичную систему счис­ления с 24 значащими цифрами;

2) нормализовать двоичное число;

3) найти машинный порядок в двоичной системе счисления;

4) учитывая знак числа, выписать его представление в 4-байтовом машинном слове.

Пример 1. Записать внутреннее представление числа 250,1875 в форме с плавающей точкой.

Решение

1. Переведем его в двоичную систему счисления с 24 значащими цифрами: 250,1875₁₀ = 11111010, 0011000000000000₂.

2. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой: 0,111110100011000000000000 * 10₂¹⁰⁰⁰. Здесь мантисса, основание системы счисления (2₁₀ = 10₂) и по­рядок (8₁₀ — 1000₂) записаны в двоичной системе.

3. Вычислим машинный порядок в двоичной системе счис­ления:

Мр₂ = 1000 + 100 0000 = 100 1000.

4.Запишем представление числа в 4-байтовой ячейке памя­ти с учетом знака числа:

Шестнадцатеричная форма: 48FA3000₁₆.

Пример 2. По шестнадцатеричной форме внутреннего представления числа в форме с плавающей точкой С9811000 восстановить само число.

Решение.

1. Перейдем к двоичному представлению числа в 4-байтовой ячейке, заменив каждую шестнадцатеричную цифру 4-мя дво­ичными цифрами:

1100 1001 1000 0001 0001 0000 0000 0000

2. Заметим, что получен код отрицательного числа, посколь­ку в старшем разряде с номером 31 записана 1. Получим поря­док числа:

р = 1001001₂ - 1000000₂ = 1001₂ = 9₁₀.

3. Запишем в форме нормализованного двоичного числа с плавающей точкой с учетом знака числа:

- 0,100000010001000000000000 • 10₂¹⁰⁰¹.

4. Число в двоичной системе счисления имеет вид: - 100000010, 001₂.

5. Переведем число в десятичную систему счисления:

-100000010,001₂ = - (1 • 2⁸ + 1 • 2¹ + 1 • 2^-3) = -258,125₁₀.

Диапазон вещественных чисел значительно шире диапазона целых чисел. Положительные и отрицательные числа расположены симметрично относительно нуля. Следовательно, максимальное и минимальное числа равны между собой по модулю.

Наименьшее по абсолютной величине число равно нулю. Наибольшее по абсолютной величине число в форме с плаваю­щей точкой — это число с самой большой мантиссой и самым большим порядком.

Для 4-байтового машинного слова таким числом будет:

0,111111111111111111111111 • 10₂^1111111.

После перевода в десятичную систему счисления получим:

(1 – 2 -24) • 263 ≈ 1019.

Множество вещественных чисел, представимых в памяти компьютера в форме с плавающей точкой, является ограничен­ным и дискретным. Количество вещественных чисел, точно представимых в памяти компьютера, вычисляется по форму­ле:

N = 2* • (U - L + 1) + 1.

Здесь t — количество двоичных раз­рядов мантиссы;

U — максимальное значение математического порядка;

L — минимальное значение порядка.

Для рассмотрен­ного нами варианта (t = 24, U = 63, L = -64) получается:

N = 2 146 683 548.

Пример 3. Получить десятичное представление числа по его дополнительному коду 10010111₂.

Решение:

1.) Инвертируем дополнительный код 10010111₂.

Получим 01101000 – обратный код

2) Прибавим к полученному числу 1. Получим число 01101001

3) Переведем полученную запись числа из двоичной в 10-ю форму. Получим число 105.

4) Перед полученным числом поставим знак «-»

Итак, ответ -105.

Задачи в тетрадях

Представить вещественное число 1) 0,005089; 2) 1234,0456 в нормализованной форме с плавающей точкой в десятичной системе счисления.

Для представления вещественного числа отводится 2 байта. Порядок занимает 7 битов. Сколько различных веществен­ных чисел точно представимы в памяти такого компьютера?

Для представления вещественного числа отводится 8 байт. Порядок занимает 11 битов. Сколько значащих цифр будет содержать двоичная мантисса?

Получить шестнадцатеричную форму внутреннего представ­ления отрицательного числа -123,125 в формате с плаваю­щей точкой в 4-байтовой ячейке.

Для представления вещественного числа используется 2-бай­товая ячейка памяти. В 1-м байте содержится знак числа и порядок, во 2-м байте — мантисса. Определить минимальное и максимальное по абсолютной величине числа, точно пред­ставимые в таком компьютере.