К а с а т е л ь н ы х

Метод касательных, называемый также методом Ньютона, широко используется при построении итерационных алгоритмов. Его попу-лярность объясняется быстрой сходимостью при хорошем начальном приближении. Метод Ньютона основан на замене небольшой дуги кривой у=f(х) касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой (рис. 4).

Зададимся некоторой точкой х_о,у_о, лежащей на кривой у=f(х), и найдем уравнение касательной к этой кривой в выбранной точке. Касательная имеет наклон к оси абсцисс, обусловленный видом кривой f(х), т.е. при проведении касательной, кроме координат точки, должен быть выдержан и угол наклона кривой в выбранной точке. Таким образом, уравнение касательной - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. Общий вид такого уравнения известен из курса аналитической геометрии:

у – у_о = к (х – х_о), (1)

где к- угловой коэффициент, т.е. тангенс угла между прямой и осью х.

Найдем точку пересечения этой прямой с осью абсцисс. Для точки, лежащей на оси х, у = 0. Подставляя это значение у в (1), получаем

- у_о = кх - кх_о; кх_о - у_о = кх; х = х_о - у_о / к. (2)

Поскольку точка (х_о, у_о) лежит на кривой у = f (х), то у_о = f (х_о), а

к = tga = dy / dx = f ‘(x _o). Подставляя найденные значения у_о и к в формулу (2), получаем:

х = х_о - f’(х_о) / f (х_о) (3)

Рис. 4

Для выбора начального приближения в методе Ньютона необходимо проверить выполнения условия:

f (с) / (с) > 0, с = b или с = а. (4)

касательная к точке C проводится со стороны выпуклости функции. За начальное приближение итерационного процесса выбирается тот из конца отрезка (а, b) в котором выполняется условие (4).

Найденное значение х считаем значением корня уравнения у = f (х) в первом приближении, т.е. х₁ = х₀ – f(х_о) / f’ (х_о ). Для получения корня во втором приближении надо найти значение функции f (х₁), провести каса-

тельную к кривой f (х) в точке В₁ (х₁, у₁) и найти точку пересечения новой касательной с осью х. Абсцисса этой точки найдется по формуле

х₂ = х₁ - f(х₁) /f’ (х₁)

Обобщая эту формулу, можно для любого приближения записать

х_n+1 = x_n – f(x_n) / f‘(x_n). (4)

Процесс вычислений по формуле (4) прекращается, если два после-довательных значения х близки, т.е. если ½х_n+1 – х_n½£ e, где e - малое число, определяющее требуемую точность решения уравнения. Процесс вычислений может быть прекращен и в том случае, если ½f(х_n+1)½£ e₁.

Скорость сходимости процесса последовательных приближений по методу Ньютона в большой мере зависит от удачного выбора исходной точки. Если численное значение производной f' (х) вблизи кор-ня мало, то процесс вычисления корня может оказаться длительным. Если же в окрестности корня график функции имеет большую крутизну, то процесс быстро сходится. Следовательно, если определен отрезок, внутри которого находится корень уравнения, то в качестве начального приближения корня следует принять тот конец отрезка, на котором модуль первой производной½f' (х)½ имеет большее значение.

Из всего сказанного следует, что для решения уравнений методом Ньютона необходимо иметь: уравнение функции f(х), уравнение производной f' (х), начальное приближение корня уравнения х_о , значение малой величины e, определяющей момент выхода из итерационного процесса, счетчик итераций, позволяющий автоматически прервать расчет, если количество итераций превысит заданное значение. Алгоритм решения уравнения может быть представлен в следующем виде:

1) выбрать начальное значение корня х_n;

2) по формуле (4) вычислить х_n+1;

3) если ½х_n+1 - x_n½£ e, то перейти к п. 7;

4) вычислить f (x_n+1);

5) если ½f (x_n+1)½£ e, то перейти к п. 7;

6) положить х_n = x_n+1 и перейти к п. 2;

7) закончить расчет.

Этот алгоритм реализован в виде подпрограммы SUBROUTINE NEWTO (A, B, EPS, X, K).Текст подпрограммы приведен в приложении 4.