Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Устойчивость систем автоматического управления
На предыдущих лекциях исследовались установившиеся процессы в САУ. Сейчас мы переходим к рассмотрению переходных процессов. Начнем их рассматривать с понятия устойчивости.
Любая система должна быть прежде всего работоспособной. Это значит, что она должна нормально функционировать при действии на нее различных внешних возмущений. Иными словами, система должна работать устойчиво.
Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.
На рис. 7.1 показаны типичные кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 7.1, а) и устойчивой (рис. 7.1, б) системах. Если система неустойчива, то достаточно любого толчка, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1 на рис. 7.1, а) или колебательным (кривая 2 на рис. 7.1, а).
Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве ошибочно переключить полярность воздействия на объект, в результате чего УУ будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь вокруг объекта. При этом УУ будет не устранять отклонение у, а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.
Колебательный расходящийся процесс может наступить, например, при неограниченном увеличении коэффициента передачи системы. Вследствие чего УУ станет излишне энергично воздействовать на объект, стремясь ликвидировать первоначально возникшие отклонения у. В этом случае при каждом очередном возврате у к нулю под действием управляющего устройства кривая у будет пересекать ось абсцисс все с большей скоростью и процесс в целом будет расходящимся.
В случае устойчивой системы (рис. 7.1, б) переходный процесс, вызванный каким-либо воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в установившееся состояние.
Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.
Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим вообще отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее выходная величина остается ограниченной в условиях воздействия на систему ограниченных по величине возмущений.
Нетрудно показать, что если переходный процесс в системе является затухающим, то система будет удовлетворять и последнему определению.
Линейная система автоматического управления называется устойчивой, если ее выходная координата у(t) остается ограниченной при любых ограниченных по абсолютной величине входных воздействиях х(t) и f(t). Устойчивость линейной системы определяется ее характеристиками и не зависит от действующих воздействий.
Таким образом, для определения устойчивости линейной системы требуется найти изменение ее управляемой величины. Структурная схема линейной системы приведена на рис.7.2, где W(s) - передаточная функция разомкнутой системы, которая в общем виде, как было определено на второй лекции, имеет вид:
. (7.1)
Рис. 7.2. Структурная схема линейной системы
Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 7.2, определяется по следующей формуле
. (7.2)
Подставив (7.1) в (7.2) и освободившись от дробей в числителе и знаменателе передаточной функции замкнутой системы, можно представить ее так:
, (7.3)
где 
; 
; 
.
Процессы в системе (рис.7.2), как следует из (7.3), описываются дифференциальным уравнением вида
. (7.4)
Решение линейного неоднородного уравнения (7.4) в общем виде состоит, как известно, из двух составляющих:
. (7.5)
Здесь 
- частное решение неоднородного уравнения (7.5) с правой частью, описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся по окончании переходного процесса; 
- общее решение однородного уравнения
,
описывающее переходный процесс в системе.
Как показано выше, система будет устойчива, если переходные процессы 
, вызванные любыми возмущениями, будут затухать, т.е. если с течением времени 
будет стремиться к нулю.
Решение 
однородного дифференциального уравнения, как известно, имеет вид:
. (7.6)
Здесь Сi – постоянные интегрирования, определяющиеся начальными условиями и возмущением; si – корни характеристического уравнения
, (7.7)
где полином 
, называемый характеристическим, есть левая часть уравнения (7.4) динамики системы.
Из теории комплексных переменных известно, что если вещественная часть корня s i отрицательна, то слагаемое 
стремится к нулю при t ® ¥.
Таким образом, для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части.
Если изобразить корни характеристического уравнения системы точками на комплексной плоскости (рис. 7.3), то найденное выше общее условие устойчивости линейной системы можно сформулировать еще так: условием устойчивости системы является расположение всех корней характеристического уравнения, т.е. полюсов передаточной функции системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все они должны быть левыми.
Рис. 7.3. Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости.
Наличие корня на мнимой оси означает, что система находится на границе устойчивости. При этом возможны два случая:
- корень в начале координат;
- пара мнимых корней.
Нулевой корень появляется, когда свободный член характеристического уравнения равен нулю. В этом случае границу устойчивости называют апериодической; система устойчива не относительно выходного сигнала, а относительно его производной: выходной сигнал в установившемся режиме имеет произвольное значение. Такие системы называют нейтрально устойчивыми.
В том случае, когда характеристическое уравнение имеет пару мнимых корней, границу устойчивости называют колебательной, при этом в переходном процессе будут незатухающие гармонические колебания.
Если хотя бы один из корней имеет положительную вещественную часть, т.е. лежит в правой полуплоскости комплексной плоскости корней характеристического уравнения, то система неустойчивая.
Для суждения об устойчивости системы практически не требуется находить корней ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым можно судить о знаках действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называются критериями устойчивости.
Существуют три основных критерия устойчивости: критерий Рауса-Гурвица, критерий Михайлова и критерий Найквиста. Рассмотрим их последовательно.
28.Критерий устойчивости Рауса-Гурвица.
Это алгебраический критерий, по которому условия устойчивости сводятся к выполнению ряда неравенств, связывающих коэффициенты уравнения системы. В разной форме этот критерий был предложен английским математиком Е. Раусом и затем швейцарским математиком А. Гурвицем в конце 19 – го века. Приведем без доказательства этот критерий в форме Гурвица.
Возьмем характеристический полином
, (7.8)
где полагаем 
, что всегда можно обеспечить умножением при необходимости полинома на - 1. Составим из коэффициентов этого полинома определитель
Этот определитель называется определителем Гурвица. Он имеет n строк и n столбцов. Первая строка содержит все нечетные коэффициенты до последнего, после чего строка заполняется до положительного числа n элементов нулями. Вторая строка включает все четные коэффициенты и тоже заканчивается нулями. Третья строка получается из первой, а четвертая – из второй сдвигом вправо на один элемент. На освободившееся при этом слева место ставится нуль. Аналогично сдвигом вправо на элемент получаются все последующие нечетные и четные строки из предыдущих одноименных строк.
В результате в главной диагонали определителя оказываются последовательно все коэффициенты, кроме а 0.
Условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.
Эти миноры отчерчены в выражении (7.9) штриховыми линиями.
Развернем критерий Гурвица для нескольких конкретных значений n.
Для n = 1
И условия устойчивости сводятся к неравенствам:
.
Отсюда, например, звено 1-го порядка с передаточной функцией 
является устойчивым, а звено с передаточной функцией 
- неустойчивым.
Для n = 2
;
.
Условия устойчивости:
(к последнему неравенству сводится неравенство 
, если учесть предыдущее неравенство 
).
Например, звено с передаточной функцией 
устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.
Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов ai.
Если определитель Dn=0, то система находится на границе устойчивости. Возможны два случая:
§ апериодическая граница устойчивости, если свободный член характеристического уравнения равен нулю, что соответствует нейтрально устойчивой системе;
§ колебательная граница устойчивости, если определитель Dn-1=0.
Из условия Dn-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости.
Для n = 3
;
.
Условия устойчивости:
;
;
.
Последнее неравенство с учетом предпоследнего условия 
сводится к требованию 
. Таким образом, в целом эти условия устойчивости заключаются в положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ2. (Необходимость положительности а 2 вытекает из условия и положительности всех остальных коэффициентов).
Для n = 4
Условия устойчивости:
Легко видеть, что условия устойчивости опять сводятся к требованию положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Δ3. (Условие Δ2 > 0 при этом вытекает из неравенства Δ3 > 0 с учетом того, что а 4 > 0).
Для n = 5
.
Условия устойчивости, если действовать аналогично, сведутся здесь к положительности всех коэффициентов и двух миноров: Δ2 и предпоследнего Δ4.
Можно показать в общем случае для системы n – го порядка, что в условия устойчивости в качестве их части входит требование положительности всех коэффициентов уравнения. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого необходимого, но недостаточного условия устойчивости. При его невыполнении, естественно, отпадает надобность в составлении и проверке остальных неравенств.
Условия устойчивости, получаемые из критерия Рауса-Гурвица, как видно из изложенного, усложняются с ростом порядка системы. При этом для систем достаточно высокого порядка оказывается затруднительным выяснять влияние на устойчивость системы значений отдельных параметров звеньев, входящих в состав коэффициентов уравнения. Это связано с тем, что, как правило, одни и те же параметры одновременно входят в несколько коэффициентов уравнения системы. Поэтому критерий Рауса-Гурвица применяют только для систем невысокого порядка и прежде всего для анализа устойчивости, когда надо определить, устойчива ли система при известных значениях всех ее параметров. При решении задачи синтеза системы, когда требуется выбрать значения отдельных параметров системы, критерий Рауса-Гурвица становится неудобным уже для систем выше четвертого порядка.
30.Критерий устойчивости Найквиста.
Этот критерий, предложенный в 1932 г. американским ученым Г. Найквистом, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой частотной характеристикеке (АФЧХ) 
разомкнутой системы (рис. 7.5).
Рассмотрим сначала случай 1, когда известно, что система в разомкнутом состоянии устойчива (рис. 7.5, а). Условие устойчивости замкнутой системы тогда сводится к требованию, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j 0). На рис. 7.5, а характеристики 1 и 4 соответствуют устойчивым системам, характеристика 3 – неустойчивой, а характеристика 2 – нахождению системы на границе устойчивости. Если, например, уменьшать коэффициент передачи в неустойчивой системе, ее АФЧХ будет сжиматься к началу координат, в результате чего система станет в конце концов устойчивой. Наоборот, при увеличении коэффициента передачи характеристика ранее устойчивой системы в конце концов охватит точку (-1, j 0), и система потеряет устойчивость.
Для случая 2, т.е. для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1, j 0). При этом число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1, j 0) сверху вниз должно быть на k/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где k – число правых полюсов передаточной функции W(s) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.
На рис. 7.5, в в качестве примера показаны две АФЧХ разомкнутой системы, неустойчивой в разомкнутом состоянии вследствие наличия правых корней, но устойчивой в замкнутом состоянии. Характеристика 1 соответствует k = 1, а характеристика 2 – значению k = 2. (В первом случае имеем «половину» пересечения действительной оси левее точки (-1, j 0)).
Таким образом, в общем случае при применении критерия Найквиста необходимо предварительно определить число правых полюсов W (s). Для одноконтурной системы, когда знаменатель W (s) представляет собой произведение знаменателей передаточных функций отдельных звеньев, это число находится легко, поскольку полюсами W (s) являются полюсы передаточных функций отдельных звеньев. У многоконтурных систем, особенно с перекрестными связями, задача определения числа k усложняется, и поэтому в этих случаях целесообразно отказаться от применения критерия Найквиста. В соответствии с критерием Найквиста об устойчивости можно судить не только по АФЧХ, но и совместно по АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. Обычно при этом пользуются логарифмическими характеристиками, что представляет большое удобство в силу простоты их построения.
Согласно критерию Найквиста, для системы, устойчивой в разомкнутом состоянии, условием устойчивости ее в замкнутом состоянии является неохват АФЧХ точки (-1, j 0). Последнее имеет место, если при частоте, на которой А (ω) = 1, абсолютное значение фазы меньше π.
Сказанное непосредственно следует из рис. 7.5, а.
Таким образом, применительно к логарифмическим характеристикам, если учесть при этом, что значению А = 1 соответствует L = 20 lg A = 0, критерий устойчивости Найквиста для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии, сводится к тому, что ЛАХ должна пересечь ось абсцисс раньше, чем фаза, спадая, окончательно перейдет за значение –π. Или иными словами: на частоте среза ω с величина фазы должна быть меньше π.
Изложенное иллюстрируется на рис. 7.6.
Здесь изображены ЛАХ L (ω) и четыре варианта ЛФХ φ (ω). В случае ЛФХ 1 и 4 замкнутая система устойчива, причем характеристика 4 соответствует АФЧХ 4 на рис. 7.5, а. ЛФХ 2 соответствует нахождению замкнутой системы на границе устойчивости, ЛФХ 3 – неустойчивой замкнутой системе.
Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, требования к ЛАХ и ЛФХ в отношении устойчивости можно сформулировать, исходя из соответствующих требований к АФЧХ. В частности, для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, условием устойчивости в замкнутом состоянии является следующее: при положительной ЛАХ число пересечений ЛФХ уровня –π снизу вверх должно быть на k/2 раз больше числа пересечений в обратном направлении.
При оценке устойчивости систем одного факта устойчивости недостаточно. Необходимо еще оценить величину запаса устойчивости, т.е. степени удаленности системы от границы устойчивости. Система, которая теоретически является устойчивой, но находится очень близко к границе устойчивости, практически при ее реализации может оказаться неустойчивой как вследствие неточности математического описания системы, использованного при оценке устойчивости, так и из-за изменения во времени параметров системы.
В случае применения критерия Рауса-Гурвица о запасе устойчивости можно судить по тому запасу, с которым выполняются входящие в этот критерий неравенства. При использовании графических критериев Михайлова и Найквиста запас устойчивости определяется удаленностью соответствующих характеристик от критического положения, при котором система находится на границе устойчивости. Для критерия Михайлова это будет удаленность годографа D (jω) от начала координат, а для критерия Найквиста – удаленность характеристики W (jω) от точки (-1, j 0).
Основное распространение в качестве меры запаса устойчивости получили вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе Δ φ и запас устойчивости по амплитуде Δ L. Эти величины показаны на рис. 7.6 для системы с ЛФХ, представленной кривой 1. Аналогично они могут быть найдены и по АФЧХ.
Запас устойчивости по фазе определяется величиной Δ φ, на которую должно возрасти запаздывание по фазе в системе на частоте среза ω с, чтобы система оказалась на границе устойчивости.
Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной Δ L допустимого подъема ЛАХ, при котором система окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи k разомкнутой системы по отношению к его критическому по устойчивости значению.
При проектировании САУ рекомендуется выбирать Δ φ 
30о, а Δ L 6 дБ. Последнее соответствует примерно двойному запасу коэффициента передачи по устойчивости.
Рассмотренные критерии устойчивости тем или иным способом оценивают один и тот же факт: имеются ли среди корней характеристического уравнения замкнутой системы корни с положительной вещественной частью. Поэтому все они дают одинаковый результат в оценке устойчивости системы.
Надо отметить, что прежде чем исследовать устойчивость САУ с помощью того или иного критерия, следует убедиться, что необходимое условие устойчивости выполняется, т.е. все коэффициенты характеристического уравнения системы являются положительными числами.
Каждый из критериев применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагают. Если известны дифференциальные уравнения системы, то чаще применяют алгебраические критерии устойчивости.
Достоинством алгебраических критериев является сравнительная простота применения, а недостатком – то, что они не позволяют оценить влияние на устойчивость системы параметров отдельных ее элементов. Этого недостатка лишен графоаналитический критерий Михайлова.
Чтобы с помощью критерия Михайлова оценить влияние изменения параметров элементов системы на ее устойчивость, необходимо построить кривую Михайлова при заданном значении интересующего нас параметра. А потом изменять этот параметр и смотреть, как будет меняться кривая Михайлова.
При известной АФЧХ используют частотный критерий Найквиста. С помощью этого критерия также можно оценить влияние параметров элементов системы на ее устойчивость. АФЧХ можно снять экспериментально.
Date: 2015-10-18; view: 768; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |