Математические достижения в Древней Греции

Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: “ И сделал литое из меди море, - от края его и до края его десять локтей, - совсем круглое… и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом”. Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа p, которое получается из формулы площади круга диаметра d:

S = (d – 1/9d) ² = (1 – 1/9) ² d² .

Этому правилу из 50 – й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение p = 4(8/9)² = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины “ с отверстием 4 ½ “. Исследователи толкуют её по – разному, поскольку p в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа p берётся то же самое приближённое значение 4 (8/9)². Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение p = 3.

В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

Математические достижения в Древней Греции.

С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга – к построению равновеликого квадрата.

Архимед в 3 веке до н.э., занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что “ периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых “. В своей небольшой работе “ Измерение круга “ он обосновал три положения: 1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу; 2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре как 11 к 14; 3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71. (Вероятно, в первоисточнике третье предложение стояло на месте второго, но при переписке или переводе была допущена погрешность. Нужно заметить, что арабы располагали более точным текстом этой работы, чем мы.) Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя до вычисления периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96-ю сторонами.

Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около этой окружности.

Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность.)

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7, а это означает, что p =3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа

3,1408 < p < 3,1428.

Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа p для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120 (p =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.