Вибрані проблеми теорії чисел

Одна з привабливих рис теорії чисел — це величезна кількість оманливо простих питань, які водночас належать до найглибших у математиці. Це означає, що будь-яка зацікавлена в математиці людина може вийти з новою і привабливою проблемою, формулювання якої не потребує спеціальних знань, і розпочати дослідження з неї, отримуючи попередні результати, але може статися, що повна відповідь невідома і вимагає цілком нових ідей, а часто і методів з зовсім інших галузей математики, деколи приводячи до виникнення цілого розділу математики.

Чимало питань теорії чисел залишаються відкритими протягом століть (наприклад, велика теорема Ферма), та навіть і тисячоліть (див. проблема конгруентних чисел). Це особливо стосується питань про прості числа. До того ж, будь-яка вже розв'язана проблема теорії чисел за невеликою зміною умов веде до нових, які можуть опинитися як набагато легшими, так і набагато важчими за початкове питання. В цьому можна пересвідчитися переглянувши наступну таблицю, у якій наведені деякі з багатьох відомих проблем теорії чисел, що рівною мірою захоплювали, і досі захоплюють, і аматорів, і величезних мислителів від глибокої античності і по цей час.

Проблема	Опис	Коментар
Довільно великіпрості числа.	Чи існують довільно великі прості числа? Як їх знаходити?	Евклід довів існування нескінченної кількості простих чисел. Ератосфен надав метод перевірки на простоту за допомогою решета Ератосфена. Ефективні методи генерації великих простих чисел становлять надзвичайно великий інтерес у криптографії. У 2002 р. Агравал-Кайал-Саксена довели, що перевірка на простоту може бути виконана за поліноміальний час.
Факторизаціяцілих чисел.	Розкласти дане ціле число у добутокпростих.	Завдяки запитам з криптографії, розроблено чимало методів, але невідомо, чи існує алгоритмфакторизації за поліноміальний час. Шор винайшов такий алгоритм для квантового комп'ютера.
Досконалі числа	Досконале число дорівнює сумі своїх власних дільників, Найменші досконалі числа: та Знайти всі парні досконалі числа. Чи існуютьнепарні досконалі числа?	Ейлер довів, що будь-яке парне досконале число має вигляд де —просте число Мерсенна. Невідомо, чи скінченна множина Мерсеннових простих. Невідомо, чи існують непарні досконалі числа, але доведено, що якщо це так, то вони повинні бути надзвичайно великими.
Дружні числа.	Два числа — дружні, якщо кожне з них дорівнює сумі дільників іншого, наприклад, відкриття яких приписуєтьсяПіфагору. Надати формули для знаходження дружніх чисел. Чи існують непарні дружні числа?	Табіт ібн Курра надав у 9 ст. правило для знаходження дружніх чисел, яке було перевідкрито Ферма іДекартом і узагальнено Ейлером, який також знайшов непарні дружні числа. Невідомо, чи існує нескінченна кількість дружніх чисел, але Боро висунув гіпотезу, що це так, і підтримав її обширними обчисленнями за допомогою комп'ютера.
abc гіпотеза		Невідомо. Із abc гіпотези випливає велика теорема Ферма.
Гіпотеза Гольдбаха.	Будь-яке парне натуральне число є сумою двох простих.	Невідомо. Восьма проблема Гільберта.
Постулат Бертрана.	Для будь-якого існує принаймні одне просте число між та	Доведений Чебишевим елементарними методами. В аналогічному питанні про існування простого між і (гіпотеза Лежандра) очікується позитивна відповідь, але це ще не доведено.
Формула для простих чисел.	Знайти формулу, яка надаватиме прості числа.	Ейлер знайшов поліном , всі значення якого для — прості. Загальна відповідь невідома, але вважається, що точної формули не існує. Поліном Матіясевича (від багатьох змінних) має властивість, що всі його додатні значення є простими.
Закон розподілу простих чисел.	Знайти кількість простих чисел, менших за	Асимптотична форма закону доведена Адамаром і Ле Валле-Пуссеном за допомогою комплексного аналізу, а також Ердьошем і Сельбергом елементарними методами. Ріман відкрив явну формулу для через нулі дзета-функції
Гіпотеза Рімана.	Дійсна частина будь-якого нуля ріманової дзета-функції у смузі належать до прямої	Невідомо. Одна з проблем тисячоліття.
Прості числа-близнюки.	Скінченна чи нескінченна множина пар простих чисел вигляду ?	Невідомо. Але на відміну від всіх простих, ряд розповсюджений на прості-близнюки, збігається. Також невідомо, чи скінченна множина простих Софі Жермен.
Арифметичні прогресіїпростих чисел.	Чи існує нескінченно багато простих чисел вигляду де — дані взаємно прості числа? Чи існує арифметична прогресія, яка складається виключно з простих чисел і довжина якої перевищує довільно велике натуральне число?	За теоремою Діріхле про прості в арифметичних прогресіях, доведенною у 19 ст., відповідь на перше питання — так. Друге питання розв'язано у 2004 р. Беном Гріном і Теренсом Тао, і відповідь — так.
Трансцендентні числа	Чи існують числа, які не задовільняють жодному алгебраїчному рівнянню з раціональними коефіцієнтами,трансцендентні числа? Алгебраїчні чи трансцендентні числа	Перші трансцендентні числа знайшов Ліувілль за допомогою діофантових наближень. Трансцендентність доведена Ермітом, а — Ліндеманном. З теореми Ліндеманна випливає неможливість квадратури круга. Трансцендентність де — алгебраїчне число і — дійсне ірраціональне число доведена Гельфондом і Шнайдером.
Піфагорові трійки.	Знайти всі трійки цілих чисел, для яких виконується	Розв'язано за античних часів.
Велика теорема Ферма.	Рівняння з не має розв'язків у цілих числах	Одна з найвпливовіших проблем в історії математики. Ферма навів доведення для і стверджував, що знайшов доведення у загальному випадку, яке або ніколи не існувало, або було втрачено. У 19 ст. докладно досліджена, передусім, Куммером, який довів її для всіх менших за 100 за допомогою вивчення однозначності факторизації у циклотомічних полях. Майже за 350 років після Ферма, у 1994 р. остаточно доведена Ендрю Вайлсом, який задля цього довів окремі випадки гіпотези Таніями-Шимури.
Рівняння Пелля.	Знайти всі розв'язки рівняння у цілих числах.	Розв'язано індійськими математиками, і незалежно і пізніше — європейськими. Якщо замінити праву частину на ще й досі невідомо, для яких існуватиме розв'язок.
Представлення цілих чисел сумами квадратів.	Визначити умови, за яких дане натуральне число є сумою квадратів і надати формулу для кількості представлень.	Критерій представлення сумою двох квадратів було сформульовано Ферма і доведено Ейлером, для трьох квадратів маємо результат Гауса. За теоремою Лагранжа (18 ст.), будь-яке натуральне число є сумою чотирьох квадратів. Питання кількості представлень вивчалося багатьма видатними математиками (Гаус, Якобі,Мінковський, Рамануджан), але повна відповідь відома лише для спеціальних значень та декількох інших. У 2005 р. Конен і Імамоглу досягли часткової відповіді для парних
Розв'язання довільнихдіофантових рівнянь.	Знайти алгоритм для з'ясування того, чи має дане діофантове рівняння розв'язки у цілих числах (десята проблема Гільберта).	Неможливість існування такого алгоритму доведена Матіясевичем. Для довільного алгебраїчного числового поля, питання залишається відкритим (2007 р.).
Квадратичний закон взаємностіГауса.	Якщо — прості числа, то виконується де символ Лежандра дорівняє якщо ціле — квадрат і в іншому випадку.	Гаус надав принаймні шість доведень свого закону. Певні узагальнення на алгебраїчні числові поля було отримано Е.Артіном і Шафаревичем, але найзагальніший закон взаємності ще досі не знайдено (дев'ята проблема Гільберта), хоча його існування випливає з гіпотез Ленглендса.
Однозначністьфакторизаціїцілих алгебраїчних чисел.	Чи виконується у кільці цілих циклотомічних чисел однозначність факторизації на прості множники? Те саме питання для цілих алгебраїчних чисел у квадратичному полі
Спеціальні значення	Знайти суму ряду для цілих значень	Ейлер точно обчислив у додатних парних точках і від'ємних непарних точках, довівши, що і — раціональні числа (розглядання значень потребує належного обґрунтування, тому що ряд не збігається!) Ці результати Ейлера неодноразово узагальнювалися і вчинили величезний вплив на подальший розвиток теорії чисел. Точне значення не знайдено, але у 1978 р. Апері елементарними методами довів його ірраціональність. Невідомо, чи раціональні
Арифметичні властивості коефіцієнтів аналітичних функцій.	Дослідити арифметичні властивості коефіцієнтів Фур'є модулярних форм, наприклад форми Рамануджана	Рамануджан знайшов, але не довів, чимало властивостей функції наприклад їїмультиплікативність: якщо — взаємно-прості числа. Це було доведено Морделом і узагальнено Гекке. Досі невідомо, чи може дорівнювати нулю (гіпотеза Лемера). Коефіцієнти мероморфних модулярних функцій, таких як модулярний інваріант цілком несподівано уявились пов'язані із найбільшою спорадичною скінченною простою групоюМонстром. Частину цього monstrous moonshine довів Борчердс.
Kronecker's Judentraum	Кронекер і Вебер довели, що будь-яке скінченне абелеве розширення поля раціональних чисел — циклтомічне, тобто міститься у полі побудованому приєднанням значеньекспоненціальної функції. Знайти функції, за допомогою яких можна побудувати абелеві розширення довільного числового поля (Дванадцята проблема Гільберта).	Якщо замінити раціональні числа на гаусові числа, чи, загальнішим чином, довільне уявне квадратичне поле то за теорією комплексного множення належні функції — це модулярні функції щільно пов'язані з модулярним інваріантом Відомі ще деякі узагальнення (Шимура, Мазур-Вайлс), але взагалі проблема залишається відкритою.
Гіпотеза Морделла.	Рівняння де — поліном з раціональними коефіцієнтами і род відповідної алгебраїчної кривої більший за одиницю, має лише скінченну множину розв'язків у раціональних числах.	"Загальний" поліном степені чотири і вище задовільняє умові гіпотези. Для степені два проблема була попередньо розв'язана Лежандром: розв'язків або взагалі не існує, або нескінченно багато, і є простий крітерій, який відрізняє ці випадки. Для степені три одержуємо еліптичну криву, для яких питання скінченності чи нескінченності числа розв'язків ще досі вивчаються. Гіпотеза Морделла була доведена у 1982 р. Фальтінгсом.
Гіпотези Вейля.	Локальна дзета-функція гладкого алгебраїчного многовида над скінченним полем є раціональною функцією змінної для якої виконується функціональне рівняння на зразок дзета-функції Рімана і аналог гіпотези Рімана.	Раціональність дзета-функції доведена Гротендіком і Дворком, а гіпотеза Рімана — Делінєм. З цих результатів випливають явні формули і оцінки для числа точок на алгебраїчному многовиді над скінченним полем, які широко застосуються у конструкції алгебраїчно-геометричних кодів і алгоритмах факторизації цілих чисел.
Гіпотеза Таніями-Шимури.	Будь яка еліптична крива над є модулярною.	Доведена Ендрю Вайлсом разом з його учнями і співпрацівниками. Робота Вайлса призвела до остаточного розв'язання великої теореми Ферма.