Главная
Случайная страница
Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Примеры решения задач. 1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct3 , где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c3
1. Частица движется вдоль прямой по закону x=A+Bt+Ct3, где А=3 м, В=2,5 м/с, С=0,25м/c3. Найти средние значения скорости и ускорения за интервал времени от t1=1 с до t2=6 с.
Дано:
| Решение:
| x=A+Bt+Ct3
А=3 м
В=2,5 м/с
С=0,25м/c3
t1=1 с
t2=6 с
| Средняя скорость это отношение перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло, тогда модуль средней скорости равен:
, где
=3+2,5×1+0,25×13=5,75 м
| Найти:
<u> -? < а > -?
| =3+2,5×6+0,25×63=72 м
Средняя скорость:
|
| Среднее ускорение это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, тогда модуль среднего ускорения равен:
, где
Среднее ускорение:
Ответ: ; .
| 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону . Найти по величине и направлению полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r=0,1 м от оси вращения, для момента времени t=4 с.
Дано:
| Решение:
|
r=0,1 м
t=4 с
| Угловая скорость w вращающегося тела равна первой производной от угла поворота от времени:
| Найти: а -?
| В момент времени t=4 с: w=20-4×4=4 рад/с
|
| Угловое ускорение e вращающегося тела равно первой производной от угловой скорости по времени:
рад/с2
Материальная точка, принадлежащая телу, движется по окружности радиуса r. Движение материальной точки ускоренное с постоянным угловым ускорением (e=const).
Следовательно, тангенциальное ускорение аt будет посто- янным, а нормальное ускорение аn непрерывно возрастаетсо временем, т.е. вектор полного ускорения точки со временем изменяется как по модулю, так и по направлению.
Полное ускорение точки, движущейся по окружности, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории. Модуль полного ускорения:
(1)
| | Тангенциальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аt=e×r, (2)
где e - угловое ускорение тела.
Нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
аn=w2r, (3)
где w - угловая скорость тела.
Подставив выражения (2) и (3) в формулу (1), получаем
(4)
| | Подставив найденные значения w и e и заданное значение
r в формулу (4), получим:
м/с2
Направление полного ускорения определится, если найти угол, который вектор ускорения образует с нормалью к траектории (см. рис.):
или (5)
По формулам (2) и (3) найдем значения и :
=-0,4 м/с2, =1,6 м/с2.
Подставив эти значения и значение полного ускорения в формулы (5), получим: cosa=0,97, sina=0,24.
| | Пользуясь тригонометрическими таблицами или калькулятором, найдем значение угла a: a»14°.
Ответ: a=1,65 м/с2, a»14°.
| 3. Автомашина массой m=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути, и за 5 мин преодолевает путь S=5 км. Определить: 1) работу, совершаемую двигателем автомашины, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность.
Дано:
| Решение:
| m=1,8 т=1800 кг
h=3 м
l=100 м
t=5 мин=300 с
S=5 км=5000 м
m=0,1
| Сделаем рисунок. Покажем, какие силы действуют на автомашину.
| Найти:
A-? P-?
| Уравнение движения автомашины в векторной форме:
|
| Запишем это уравнение в проекциях на оси x и y (см. рис.):
ox:
oy:
Из последнего , тогда .
Сила тяги двигателя автомашины будет равна:
Работа, совершаемая двигателем автомашины:
, где
, ,
Подставляем числовые значения и получаем:
=
=12,7 МДж
Средняя мощность, развиваемая двигателем автомашины:
кВт
|
| Максимальная мощность, развиваемая двигателем автомашины:
, где
Подставляем числовые значения и получаем:
84 кВт
Ответ: A=12,7 МДж; áPñ=42 кВт; Pmax=84 кВт.
| 4. Шар массой m1=3 кг движется со скоростью u1=2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m2=5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.
Дано:
| Решение:
| m1=3 кг
u1=2 м/с
m2=5 кг
| Работа будет равна изменению кинетической энергии системы: , (1)
| Найти:
A -?
| где кинетическая энергия шаров до столкновения:
(2)
| | Она равна кинетической энергии первого шара, т.к. второй шар покоится.
(3)
кинетическая энергия шаров после столкновения. Здесь скорость u – скорость системы двух шаров после столкновения. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса:
(4)
Из выражений (1) – (4) окончательно получаем:
Подставляем числовые значения и получаем:
Дж
Ответ: А=3,74 Дж
| 5. Камень брошен со скоростью u0=15 м/с под углом a=60° к горизонту. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергии камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. Масса камня m=0,2 кг.
Дано:
| Решение:
| u0=15 м/с
a=60°
t=1 с
m=0,2 кг
| Движение камня сложное, криволинейное: вдоль оси OX равномерное с постоянной скоростью
, (1)
а вдоль оси OY равнопеременное с постоянным ускорением g=9,8 м/с2:.
| Найти:
Wк -? Wп -? W -?
| (2)
|
|
|
|
Через t=1 с скорость камня будет равна:
(3)
|
|
Кинетическая энергия камня через t=1 с будет равна:
Найдем на какой высоте окажется камень через t=1 с:
Тогда потенциальная энергия камня в этот момент равна:
Полная механическая энергия камня через t=1 с равна:
В верхней точке траектории , следовательно, полная скорость в этой точке равна: .
Тогда кинетическая энергия в верхней точке траектории равна:
Чтобы найти потенциальную энергию в верхней точке траектории, найдем максимальную высоту подъема.
|
| Для этого найдем время подъема. В верхней точке траектории , следовательно,
Отсюда получаем время подъема:
Зная время подъема, можно найти максимальную высоту подъема:
Найдем потенциальную энергию в верхней точке траектории:
|
|
Полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна:
Видно, что выполняется закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия камня в верхней точке траектории равна полной механической энергии камня через 1 с после начала полета.
Ответ: Wк=5,6 Дж; Wп=16,9 Дж; W=22,5 Дж.
| 6. Две гири с массами m1=2 кг и m2=1 кг соединены нитью, перекинутой через блок массой m=1 кг. Найти ускорение, с которым движутся гири, и силы натяжения нитей, к которым подвешены гири. Блок считать однородным диском. Трением пренебречь.
Дано:
| Решение:
| m1=2 кг
m2=1 кг
m=1 кг
| Запишим уравнения движения гирь:
| Найти:
a -? Т1 -? Т2 -?
|
|
| Запишим эти уравнения в проекциях на ось Y:
(1)
(2)
Нить будет натянута по обе стороны блока по-разному, и разность сил натяжения будет создавать момент сил, вращающий блок.
Запишим основной закон динамики:
, (3)
|
| где , а - момент инерции блока.
Решая (1) - (3) совместно, найдем
м/с2 (4)
|
| Подставляя (4) в (1) и (2), получим
=14 Н
=12,6 Н
Ответ: a=2,8 м/с2; T1=14 Н; T2=12,6 Н.
| 7. Платформа в виде диска радиусом R=1,5 м и массой m1=180 кг вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая n=1/6 с-1. В центре платформы стоит человек массой m2=60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?
Дано:
| Решение:
| R=1,5 м
m1=180 кг
n=1/6 с-1
m2=60 кг
| По закону сохранения момента импульса:
, (1)
где Jпл, Jчел – моменты инерции платформы и стоящего в ее центре человека; w1 – угловая скорость платформы с
| Найти:
u -?
| человеком, стоящим в ее центре; - момент инерции человека, стоящего на краю платформы; w2 – угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю.
Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением:
u=w2R (2)
Определив из уравнения (1) w2 и подставив полученное выражение в (2), будем иметь:
(3)
|
| Момент инерции платформы определим как для диска:
Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки:
,
|
| Угловая скорость платформы до перехода человека из центра на край платформы: w=2pn.
Заменив в формуле (3) величины Jпл, Jчел, , и w2 их выражениями, получим:
|
|
Подставляем числовые значения и получаем:
м/с
Ответ: u=1 м/с.
| 8. К пружине подвешен груз массой m=10 кг, который совершает колебания с амплитудой 5 см. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l =1,5 см, найти: частоту, период и циклическую частоту вертикальных колебаний пружины, жесткость пружины, полную энергию, максимальную скорость и максимальное ускорение.
Дано:
| Решение:
| m=10 кг
А=5 см=0,05 м
F=9,8 Н
l =1,5 см=0,015 м
| Уравнение гармонических колебаний пружинного маятника имеет вид:
, (1)
где s – смещение маятника от положения равновесия;
| Найти:
n -? T -? w -?
k -? W -? umax -?
amax -?
| А – амплитуда колебаний; w=2pn – циклическая частота; - частота колебаний; Т – период колебаний; j0 – начальная фаза.
| | Из закона Гука F=k l найдем коэффициент жесткости пружины: ; 653 Н/м
Зная коэффициент жесткости пружины, найдем период колебаний груза на пружине:
; с
Следовательно, частота и циклическая частота соответст венно равны:
| | ; Гц; w=2pn=2×3,14×1,25=7,85 с-1
| | Скорость колебаний:
, (2)
где umax=Аw - максимальная скорость колебаний.
umax=0,05×7,85=0,4 м/с
Ускорение маятника:
, (3)
где - максимальное ускорение.
м/с2
Полная энергия маятника:
Дж
Ответ: k=653 Н/м; Гц; Т=0,8 с; w=7,85 с-1;
umax=0,4 м/с; м/с2; W=0,77 Дж.
| 9. Волна распространяется в упругой среде со скоростью 150 м/с. Определить частоту колебаний, если минимальное расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны равно 0,75 м.
Дано:
| Решение:
| u=150 м/с
Dx=0,75 м
| Разность фаз колебаний двух точек волны:
| Найти:
n -?
| Отсюда длина волны будет равна:
| | По условию задачи Dj=p - точки колеблются в противоположных фазах.Тогда
l=2×Dx (1)
Длина волны связана с частотой соотношением:
(2)
Подставляем (1) в (2) и выражаем частоту:
Гц
| | Ответ: n=100 Гц
|
|