Ре­ше­ние. За­ме­тим, что пло­ща­ди двух тре­уголь­ни­ков, общей вер­ши­ной ко­то­рых яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции

За­ме­тим, что пло­ща­ди двух тре­уголь­ни­ков, общей вер­ши­ной ко­то­рых яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, а ос­но­ва­ни­я­ми — бо­ко­вые сто­ро­ны, равны. Это сле­ду­ет, на­при­мер, из того, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков и равны (по­сколь­ку эти тре­уголь­ни­ки имеют общее ос­но­ва­ние , и их вы­со­ты, про­ве­ден­ные к этому ос­но­ва­нию, равны как вы­со­ты тра­пе­ции), а . По усло­вию, , по­это­му и яв­ля­ют­ся не бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми, а ос­но­ва­ни­я­ми тра­пе­ции. Тогда тре­уголь­ни­ки и по­доб­ны по двум углам, и от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно квад­ра­ту ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия . По­это­му . По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки и имеют общую вы­со­ту, про­ведённую из вер­ши­ны , то от­но­ше­ние их пло­ща­дей равно от­но­ше­нию их ос­но­ва­ний, т. е. . Зна­чит, . По­это­му и . Но тогда .

Ответ: .

Источник: Тре­ни­ро­воч­ные работы. Бунимович, Куз­не­цо­ва и др. — 2013, ва­ри­ант 2.

25. За­да­ние 25 № 314849. В па­рал­ле­ло­грам­ме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сто­ро­нах, как по­ка­за­но на ри­сун­ке, причём АЕ = CK, BF = DM. До­ка­жи­те, что EFKM — па­рал­ле­ло­грамм.