Теоретические основы метода конечных элементов

Фундаментальный принцип МКЭ заключается в разбиении изучаемой области на элементарные области конечных размеров (конечные элементы). В каждом таком элементе неизвестная функция аппроксимируется полиномом, степень которого меняется в зависимости от аппроксимируется задачи, но остается обычно невысокой (от 1 до 6). Для каждого элемента аппроксимирующий полином определяется его коэффициентами. Коэффициенты могут быть определены значениями функции в частных точках, называемых узлами элемента. Если известна функция в каждом узле, то имеется возможность ее аппроксимации на всей области. Можно также сказать, что неизвестная функция A(x,y,z) зависит от M параметров A1, A2,..., AM, являющихся неизвестными, которые функция принимает в каждом узле каждого элемента. Определение параметров A1, A2,..., AM является этапом определения A(x,y,z).
Зная вариационное представление задачи, заменяют тройной интеграл на сумму интегралов на каждом конечном элементе области: , где Ne - число элементов разбиения и Fe - часть F на элементе с номером e. На каждом элементе с номером e функция A может быть заменена ее аппроксимацией A=P(, x, y, z), интегрирование которой дает F(A) в виде функции одних только
параметров элемента e: Fe(A)=F(). Суммируя, получают , принимая во внимание, что некоторые из узлов 1, 2,...,M являются общими для нескольких элементов и что вклад каждого элемента должен учитываться в выражении для функции F относительно величин A1, A2,..., AM неизвестной функции в этих узлах, когда объединяют элементы для всей области.
Отыскивается оптимум F по всей области, имея в виду, что частные производные F относительно величин A1, A2,..., AM одновременно обращаются в нуль: ,....
Эта операция приводит к составлению системы из M уравнений с M неизвестными, которые определяют величины A1, A2,..., AM в узлах разбиения. Правая часть этих уравнений получается, исходя из той части функционала, которая содержит в себе члены, характеризующие источники, или на основе значений А, заданных на границе области (неоднородные граничные условия Дирихле).