Уравнения напряжений трансформатора

Основной переменный магнитный поток Ф в магнитопроводе трансформатора, сцепляясь с витками обмоток w₁ и w ₂ (см. рис. 1.1), наводит в них ЭДС [см. (1.1) и (1.2)]

Предположим, что магнитный поток Ф является синусоидальной функцией времени, т.е.

, (1.4)

где Ф_max — максимальное значение потока.

Тогда, подставив (1.4) в формулу ЭДС е₁ и дифференцируя, получим

. (1.5)

Но так как то

. (1.6)

По аналогии,

, (1.7)

Из (1.6) и (1.7) следует, что ЭДС е\ и е₂ отстают по фазе от по­тока Ф на угол п/2. Максимальное значение ЭДС

(1.8)

Разделив E_1maxна √2 и подставив ω = 2π f, получим действующее значение первичной ЭДС (В):

(1.9)

Аналогично, для вторичной ЭДС

(1.10)

Отношение ЭДС обмотки высшего напряжения к ЭДС обмотки низшего напряжения называют коэффициентом трансформации:

(1.11)

При практических расчетах коэффициент трансформации с некоторым допущением принимают равным отношению номинальных напряжений обмоток ВН и НН:

Рис. 1.14. Магнитные потоки в однофазном трансформаторе

Токи I₁ и I₂ в обмотках трансформатора помимо основного магнитного потока Ф создают магнитные потоки рассеяния и (рис. 1.14), каждый из которых сцеплен с витками лишь собственной обмотки и индуцирует в ней ЭДС рассеяния. Эти ЭДС в первичной и вторичной обмотках таковы:

где и — индуктивности рассеяния.

Так как магнитные потоки рассеяния замыкаются главным образом в немагнитной среде (воздух, масло, медь), магнитная проницаемость которой постоянна, то и индуктивности L_s1 и L_s2 можно считать постоянными.

Действующие значения ЭДС рассеяния пропорциональны токам в соответствующих обмотках:

где x₁ и x₂ — индуктивные сопротивления рассеяния первичной и вторичной обмоток соответственно, Ом (знак минус в этих выражениях свидетельствует о реактивности ЭДС рассеяния).

Таким образом, в каждой из обмоток трансформатора индуцируются по две ЭДС: ЭДС от основного потока Ф и ЭДС от потока рассеяния ( в первичной обмотке и во вторичной обмотке).

Для первичной цепи трансформатора, включенной в сеть на напряжение , с учетом падения напряжения в активном сопротивлении первичной обмотки можно записать уравнение напря­жений по второму закону Кирхгофа:

или, перенеся ЭДС и в правую часть уравнения и выразив ЭДС рассеяния через индуктивное сопротивление рассеяния , получим уравнение напряжений для первичной цепи трансформатора:

(1.13)

ЭДС первичной обмотки , наведенная основным магнитным потоком Ф, представляет собой ЭДС самоиндукции, а поэтому находится в противофазе с подведенным к первичной обмотке напряжением .

Обычно индуктивное и активное падения напряжения невелики, а поэтому с некоторым приближением можно считать, что подведенное к трансформатору напряжение уравновешивается ЭДС , т. е.

(1.14)

Для вторичной цепи трансформатора, замкнутой на нагрузку с сопротивлением , уравнение напряжений имеет вид

(1.15)

т.е. сумма ЭДС, наведенных во вторичной обмотке , уравновешивается суммой падений напряжений . Здесь — активное сопротивление вторичной обмотки. Падение напряжения на нагрузке представляет собой напряжение на выводах вторичной обмотки трансформатора:

(1.16)

Приведем уравнение (1.15) к виду, аналогичному уравнению ЭДС для первичной цепи (1.13). При этом учтем выражения (1.12) и (1.16) и получим уравнение напряжений для вторичной цепи трансформатора:

(1.17)

Из этого уравнения следует, что напряжение на выходе нагруженного трансформатора отличается от ЭДС вторичной обмотки на величину падения напряжений в этой обмотке.

Пример 1.2. Имеется однофазный трансформатор (рис. 1.14) номинальной мощностью и номинальными напряжениями и , при частоте тока f = 50 Гц; действующее значение напряжения, приходящееся на один виток обмоток, .

Определить: числа витков обмоток трансформатора w _l и w ₂ поперечное сечение обмоточных проводов первичной q ₁ и вторичной q ₂ обмоток, если плотность тока в этих проводах D =• 4,0 А/мм²; площадь поперечного сечения стержня магнитопровода Q_ст, если максимальное значение магнитной индукции в стержне B_ст, = 1,4Тл.

Решение. По номинальным значениям напряжений U_1ном, и U_2ном определяем числа витков в обмотках:

w ₁ = U_1ном / U_2ном = 6000/5 = 1200; w ₂ = U_2ном jU_вит = 400/5 = 80, Номинальные значения токов в обмотках:

I _1HOM = S_ном /U₁ = 100• 10³/6000 = 16,7 А; I _2ном = S_ном / U ₂ = 100• 10³/400 = 250 А. Поперечные сечения обмоточных проводов:

q₁ = I _1HOM /∆ = 16,7/4 = 4,175 мм²; q₂ = I _2ном /∆ = 250/4 = 62,5 мм².

Основной магнитный поток в стержне определим, используя выражение (1.10) и учитывая, что номинальное вторичное напряжение U_2ном = Е₂:

Ф_max = Е₂ /(4,44 fw ₂) = 400/(4,44 • 50 • 80) = 0,0225 Вб. Поперечное сечение стержня магнитопровода

Q_ст = Ф_max /(k_сB_ст) = 0,0225/(0,93-1,4) = 0,017 м²,

где k_с = 0,93 — коэффициент заполнения шихтованного стержня сталью, учитывающий увеличение сечения стержня прослойками изоляционного лака между стальными полосами.