Многогранники

Основные понятия и виды простых многогранников. Многогранной поверхностью называются совокупность конечного множества многоугольников, называемых гранями, причем каждая сторона одной любой грани либо принадлежит только одной этой грани, тогда она называется граничным ребром, либо сторона принадлежит двум и только двум граням называются вершинами этой поверхности, причем каждую вершину с другой соединяет пространственная ломаная, состоящая из звеньев – сторон многоугольников.

Простым многогранником называется многогранник обладающий свойствами:

а) все его грани – простые многоугольники;

б) ребра многогранника не имеют общих внутренних точек и общих внутренних точек с

гранями;

в) вершины многогранника не лежат во внутренних точках ребер и граней;

г) плоские углы граней с общей вершиной образуют один многогранный угол.

Многогранники нулевого рода и теорема Эйлера. В определении простого многогранника указано, что существует пространственная ломаная, звенья которой – ребра многогранника такие, что начало и конец ломаной находятся в любых вершинах многогранника. Можно взять ломаную замкнутую (начало и конец ее совпадут), которая называется разрезом многогранника.

Многогранники в природе. В природе многие вещества имеют кристалическое строение в виде многогранников: кристаллы каменной соли и сахара имеют форму куба; кристаллы алмаза – октаэдра; кристаллы кварца (горный хрусталь, аметист, желтые и дымчатые кварцы - раухтопазы) имеют форму шестигранной призмы – карандаша; кристаллы берилла (изумруда) – шестигранная призма. Кристаллы вырастают геометрически точными многогранниками только лишь при благоприятных условиях. С древнейших времен формы многогранников привлекали внимание человека. Например, многие виды огранки драгоценных камней представляют собой многогранники: огранка «алмазная таблица», «антверпенская роза» - самые простые виды огранки. Эти формы можно получить и в школьной мастерской, если имеется небольшой станок для обработки камня.

Многогранники, как простейшие и красивые пространственные формы, применялись уже в древние и средние века: знаменитые египетские пирамиды; башни, храмы, замки; замечательные творения русских зодчих на землях Киева, Новгорода, Пскова, Владимира, Москвы.

Формы многогранников широко используются в современной архитектуре, технике, оптической технике, в машиностроении, в различных изделиях из древесины и металла, форму которых образуют поверхности многогранников. В исследовательской работе и в инженерном деле сложные геометрические формы нередко заменяют близкими по форме поверхностями многогранников. В физике твердого тела также применяются многогранники. Некоторые кристаллы имеют довольно простую форму, но их комбинации могут создавать очень сложные многогранники.

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребёнка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Особый интерес к правильным многоугольникам и правильным многогранникам связан с красотой и совершенством формы. Они довольно часто встречаются в природе. Достаточно вспомнить форму снежинок, граней кристаллов, ячеек в пчелиных сотах. Из правильных многоугольников можно складывать не только плоские фигуры, но и пространственные.

Звёздчатый многогранник — это правильный невыпуклый многогранник. Многогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Также формы многогранников широко используются в декоративном искусстве.

Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинка — это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок. Есть много видов звёздчатых многогранников.