Пример 6

Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница.
1) Ряд является знакочередующимся.
2)

Члены ряда убывают по модулю.
Вывод: ряд сходится.

Обратите внимание, что я не расписал подробно члены ряда. Их всегда желательно расписывать, но от непреодолимой лени в «тяжелых» случаях можно ограничиться фразой «Ряд является знакочередующимся». Кстати, не нужно относиться к этому пункту формально, всегда проверяем (хотя бы мысленно) что ряд действительно знакочередуется. Беглый взгляд подводит, и ошибка допускается «на автомате». Помните об «обманках» , , , если они есть, то от них нужно избавиться, получив «обычный» ряд с положительными членами.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Очевидно, что нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, ряд сходится.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.