Краткая формула сопротивления воды

В современной гидромеханике аналитическое выражение для определения силы полного сопротивления движению тела в воздушной или водной среде, отвечающее принципам гидродинамического подобия, имеет вид

(8.54)

где R – полная сила сопротивления воды движению тела;

ζ – безразмерный коэффициент сопротивления;

ρ – плотность среды;

Ω – характерная площадь тела;

υ – относительная скорость движения тела.

Требуется установить зависимость для определения силы сопротивления движению тела, используя метод показателей.

1. Записываем функциональную зависимость для определения силы сопротивления

R = f (ρ, l, υ, μ, g) (8.55)

где l – длина тела;

μ – динамическая вязкость;

g – ускорение свободного падения.

Размерность входящих в зависимость (8.55) параметров является сочетанием трех основных единиц измерения [ М ],[ L ] и[Т].

2. Возведем в соответствующую степень каждый из определяющих параметров зависимости (8.55)

(8.56)

где k – безразмерный коэффициент пропорциональности;

x, y, z, u, w – пять неизвестных показателей степени.

3. Подставим размерности входящих в равенство параметров, пользуясь принятой системой основных единиц измерения (таблица 8.1),

(8.57)

4. Независимо от системы единиц измерения, в которой выраже ны все входящие в уравнение (8.57) параметры, размерность левой части и итоговая размерность произведения правой части уравнения (8.57) должна быть одной и той же.

Условие однородности требует, чтобы показатели степени для каждой из трех единиц измерения [М], [L], [Т] были одинаковы и в левой и в правой частях уравнения (8.57), т.е.

для массы [М]	(8.58)
для длины [L]
для времени [Т]

Из системы уравнений (8.58) получим

х = 1 – u; y = 2 – u + w; z = 2 – u – 3w.

Подставив найденные значения показателей х, у,z в формулу (8.56), получим

Произведя перегруппировку множителей по показателям, получим

(8.59)

В этой формуле

где Re – число Рейнольдса;

Fr – число Фруда.

В формуле (8.59) произведение Re^-u, Fr^-w можно записать в виде некоторой функции f (Re, Fr) тогда окончательное выражение для определения сопротивления воды движению тела примет вид

Обозначим f (Re, Fr) = ζ, ² = Ω, принимая значения к = 0,5, получим

.

Общий вид формулы для определения сил сопротивления, полученной на основе теории размерности, идентичен зависимости, отвечающей принципам гидродинамического подобия (8.54). В этих формулах безразмерный коэффициент ζ называется коэффициентом сопротивления тела. Коэффициент сопротивления является сложной функцией, зависящей одновременно от чисел Рейнольдса и Фруда.

Таким образом, величина полной гидродинамической силы, действующей на тело, т.е. силы сопротивления воды движению тела, пропорциональна безразмерному коэффициенту сопротивления ζ, скоростному напору ρυ²/2 и характерной площади Ω.