Краткая теория

Из практики известно, что твердые тела при нагревании увеличивают свои объемные и линейные размеры. Это пример теплового расширения. Рассмотрим причины, приводящие к этому.

Колебания положительно заряженных ионов в узлах кристаллической решетки совершается около положения равновесия.

Рис. 2

На рис.2 изображена кривая потенциальной энергии иона В в поле покоящего иона А при Т=ОК, эта кривая сильно ассиметрична. Она очень быстро возрастает от минимального значения, потенциальной энергии Uо в точке rо, при уменьшении r и сравнительно медленно растет при увеличении r. В положении rо ион В имеет наименьшую потенциальную энергию и сила притяжения его ионом А равна силе отталкивания, т.е. он имеет наибольшую скорость. Когда он находится в положении r1 то сила отталкивания больше чем сила притяжения, а в положении - наоборот.

Если полная энергия иона (в дальнейшем будем говорить -«атома») равна некоторому значению Е₁, то поворотными точками (точки, где он останавливается ) будут точки пересечения U(r) с линией Е₁= const.

Действительно, т.к Е₁= +U, то в поворотных точках при Е₁=U.

При Т = ОК в классическом приближении следует считать и тогда

Е₁=Uо, т.е. атом неподвижен. Однако в действительности абсолютный нуль недостижим. Поэтому Е>U. Так как явный вид функции U(Т) не известен, то воспользуемся косвенной связью, а именно с повышением температуры увеличивается полная энергия Е.

Пусть отрезки а, б, в изображают область допустимых смещений атома в кристаллической решетке для трех значений полной энергии с повышением температуры (Т₁<Т₂<Т₃); r₁ и , r₂ и r₃ и крайние положения, которые занимает в решетке колеблющийся атом при соответствующих температурах. Середины отрезков а, б, в определяют среднее положение атома в решетке при данных температурах Т₁, Т₂ и Т₃.

Пунктирной линией показаны точки соответствующие среднему положению атома при возрастании температуры. Как видим, межатомные расстояния увеличиваются, что и приводит к тепловому расширению. Таким образом, причиной теплового расширения является смещение среднего положения атома при изменении его полной энергии благодаря ассиметрии кривой потенциальной энергии.

При нагревании тела, имеющего первоначальную длину l, его относительное удлинение пропорционально изменению температуры dt:

=adt (1),

где a - коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом теплового линейного расширения. Этот коэффициент определяет относительное удлинение тела при увеличении температуры на 1К. Практически, при небольших изменениях температуры, коэффициент a изменяется незначительно, поэтому для расчетов можно пользоваться средней величиной коэффициента теплового линейного расширения:

= (2),

где Dl - удлинение стержня при нагреве от t до t -(начальная и конечная температуры),

l - длина тела, соответствующая температуре t .

Для анизотропных кристаллов коэффициент a различен для разных направлений. Для поликристаллических тел (в частности, для металлов) вследствие их изотропности коэффициент линейного расширения во всех направлениях одинаков.

В общем случае коэффициент a зависит от температуры и при низких температурах уменьшается пропорционально кубу температуры, стремясь к нулю при Т®ОК.