Почему в некоторых видах спорта мяч движется по «невероятным» траекториям?

Рис. 1. Хронофотография движения шарика радиусом 3,5 мм в воде. Скорость шарика перед столкновением с водной средой U₀ = 35 м/с, скорость вращения ω₀ составляет приблизительно 191 оборот в секунду. Временн ы е интервалы между снимками неодинаковые. Первая фотография сделана за 0,5 мс до столкновения с водой, вторая — через 2,8 мс после столкновения, третья — через 13 мс, четвертая — через 42 мс, пятая — через 75 мс, шестая — через 101 мс, седьмая — через 169 мс и восьмая — через 216 мс. Стрелки обозначают направление скорости шарика. Изображение из обсуждаемой статьи в New Journal of Physics

В игровых видах спорта часто приходится наблюдать, как мяч движется в воздухе по сильно искривленному пути, вызывая удивление не только у игроков, но и у зрителей. Французские ученые провели серию экспериментов по изучению движения вращающихся шариков в воде и на основе полученных данных построили теоретическую модель их поведения. При помощи разработанной модели ученые ответили на вопрос, в каких видах спорта полет мяча может происходить по крутой дуге.

Всё чаще различные явления из области спорта становятся объектом исследования физиков. Наиболее привлекательны с научной точки зрения виды спорта c мячом. Дело в том, что из-за сопротивления воздуха движение мяча оказывается в целом нелинейным процессом, и потому, несмотря на кажущуюся обыденность, представляет большой интерес для теоретического и экспериментального изучения.

Нелинейность поведения мяча можно наблюдать, например, во время трансляций футбольных матчей, когда комментаторы награждают траекторию его полета эпитетами типа «фантастическая», «невероятная», «сумасшедшая» и т. д. Один из самых ярких и известных примеров такой «невероятной» траек— штрафной удар футболиста сборной Бразилии Роберто Карлоса (Видео: www.youtube.com/watch?v=Pb2qykj6_ZU), который он нанес 3 июня 1997 года по воротам сборной Франции. При просмотре видео зрителю вначале может показаться, что мяч улетает далеко вправо от ворот, однако затем направление его пути резко искривляется, и он, к изумлению вратаря сборной Франции, залетает в правый угол ворот. Влияние ветра здесь абсолютно исключено, поскольку в тот момент стояла безветренная погода.

Так что нет ничего удивительного в том, что этот полет мяча стал предметом всестороннего исследования ученых. На качественном уровне причина движения мяча по крутой дуге известна — это возникающая за счет вращение мяча сила, которая часто называется силой Магнуса. Но, несмотря на неоднократно предпринимаемые попытки, так и не было создано адекватной теоретической модели, которая могла бы правильно количественно интерпретировать полет мяча.

Это упущение было недавно исправлено группой французских ученых. В своей статье The spinning ball spiral, опубликованной в журнале New Journal of Physics, они не только на количественном уровне смоделировали гол Роберто Карлоса, но еще и показали, в каких видах спорта движение мяча может иметь такую же «фантастическую» траекторию.

Для начала авторы статьи, проведя серию экспериментов, изучили траектории вращающихся полипропиленовых и полиформальдегидных шариков с радиусами несколько миллиметров, которыми с помощью специальной рогатки выстреливали в водную среду. Конструкция рогатки позволяла придавать шарам контролируемые значения вращения и скорости, а также конкретный угол, под которым они должны были попадать в жидкость. Выбор воды и полипропиленаили полиформальдегида обусловлен тем, что плотности этих веществ очень близки друг к другу. Поэтому можно упростить задачу и не принимать во внимание влияние гравитации на параметры движения шариков. Траектория движения изучаемых объектов детектировалась высокоскоростной видеокамерой.

Визуализацию одного из экспериментов можно увидеть на рис. 1. На нём приведена серия стоп-кадров, показывающих положение вращающегося полипропиленового шарика в воде.

Невооруженным глазом видно, что шарик движется по спирали, причем заметим, что на первых четырех фотоснимках его траектория схожа с полетом мяча, пущенного Роберто Карлосом.

Таким образом, эксперимент дал и без того очевидный вывод, что причина криволинейного движения мяча заключается в его вращении. Теперь дело оставалось за построением аккуратной теоретической модели динамики шариков в воде.

В процессе движения на исследуемый объект действуют две силы — сила лобового сопротивления, которая в данных условиях пропорциональна квадрату скорости движения шара, и сила Магнуса, пропорциональная произведению скорости движения шара и угловой скорости его вращения. Чтобы их учесть, надо точно знать значение коэффициентов пропорциональности, входящих в формулы для обеих сил. Их значения зависят от геометрии тела, а также от того, насколько сильно своим движением тело возмущает окружающую среду. Это возмущение в гидро- и аэродинамике характеризуют безразмерной величиной — числом Рейнольдса. Чем больше число Рейнольдса, тем сильнее под действием движущегося тела возмущается среда. Для заданных интервалов значений числа Рейнольдса существует свой коэффициент пропорциональности в формулах для сил. К счастью, для шарообразных тел значения этих коэффициентов в зависимости от величины числа Рейнольдса были измерены, поэтому авторы воспользовались уже готовыми экспериментальными данными.

Другая трудность, которую успешно преодолели ученые, носила чисто математический характер. Если попытаться записать уравнения движения (второй закон Ньютона) в традиционной декартовой системе координат, то из-за своего вида они не будут иметь аналитического решения. Разумеется, можно воспользоваться существующими программами для численного счета, однако тогда теряется «наглядность» в понимании происходящего процесса, точнее говоря, того, как параметры шара (скорость вращения, радиус, плотность) и среды будут влиять на траекторию движения. Так как эксперименты четко продемонстрировали спиралевидную траекторию сферы, авторы воспользовались уравнениями движения, записанными в специальной криволинейной системе координат, называемой иногда системой координат Френе—Серре.

Рис. 2. Траектории движения шарика в воде. Красная кривая получена исходя из предположения, что скорость вращения шарика в процессе движения остается неизменной. Синяя кривая описывает реалистичный случай замедления скорости вращения. Черные квадраты соответствуют экспериментальным данным. Координаты измеряются в единицах характерного масштаба спирали (см. подробности в тексте). Параметры шарика: радиус 3,5 мм, скорость перед столкновением с водой — 31 м/с, отношение плотностей материала шарика к воде равно 1; шарик столкнулся с водной средой под углом 26°. Изображение из обсуждаемой статьи в New Journal of Physics

Благодаря этому математическому «трюку» уравнения допускают аналитическое решение, и соответственно ни к какому численному счету прибегать не надо. Далее, воспользовавшись известными соотношениями между системой координат Френе—Серре и декартовой, авторы статьи построили графики решений уравнений движения, которые, по сути, и определяют траекторию вращающегося шарика в воде (рис. 2). Как видно из рис. 2, движение вращающегося шарика проходит по спирали. Красная спираль соответствует случаю, когда скорость вращения полипропиленового (полиформальдегидного) шара во время движения остается постоянной. Очевидно, что такая картина имеет мало общего с действительностью. Если теперь учесть факт уменьшения угловой скорости вращения (реалистичная ситуация), то путь изучаемого объекта будет проходить по синей спирали, которая как видно, отлично согласуется с экспериментальными данными.

В конечном итоге, как показал анализ выражения, описывающего траекторию движения шарика, его путь становится прямолинейным. Расстояние, на котором происходит искривление траектории шарика, приблизительно равно величине, обозначаемой авторами как (это видно также из графика на рис. 2). Этот параметр, который авторы назвали также «характерным масштабом спирали», определяется через радиус шарика, отношение плотностей вещества шарика и среды и коэффициента пропорциональности, входящего в формулу для лобового сопротивления. — очень важный параметр, о нём будет идти речь ниже.

Итак, авторы статьи создали адекватную количественную теорию движения вращающегося шарика в воде, которая прекрасно согласуется с экспериментом. Однако, поскольку в самом начале этой заметки речь шла о полете мяча, то возникает вопрос относительно применимости описанной здесь модели в условиях, когда влиянием силы тяжести пренебречь уже нельзя, а водная среда меняется на воздушную. Как сильно гравитация способна исказить спиралевидную траекторию полета вращающегося в воздухе мяча?

Рис. 3. Параметры мяча для различных видов спорта (настольный теннис, гольф, теннис, футбол, бейсбол, волейбол, баскетбол, гандбол). 2R — диаметр мяча (в см); ρ_s/ρ — отношение плотности мяча к плотности воздуха; U ₀ — максимальная скорость полета мяча (в м/с); S — безразмерная величина, определяющая быстроту вращения мяча; L — размер поля (в метрах), на котором проходит данный вид игры; — характерный масштаб спирали, по которой в отсутствие гравитации двигался бы мяч; U ₀²/ g — характерный масштаб действия гравитации, то есть расстояние, после пролета которого траектория мяча определяется главным образом силой тяжести (g — ускорение свободного падения). Таблица из обсуждаемой статьи в New Journal of Physics

Для ответа на эти вопросы авторы приводят таблицу, в которой собрали основные параметры спортивных игр с мячом. Используя приведенные значения, авторы вычислили характерный масштаб спирали, вдоль которой двигался бы мяч в отсутствие силы тяжести (то самое ), и характерное расстояние (масштаб) действия гравитации U ₀²/g, после пролета которого траектория мяча определяется главным образом силой тяжести.

Сравнение последних двух колонок таблицы позволяет определить, в каких видах спорта доминирует аэродинамика (что как раз и отражается в спиралевидной траектории вращающегося мяча), а в каких сила тяжести. Видно, что в настольном теннисе, гольфе и большом теннисе масштаб действия гравитации в несколько раз меньше — следовательно, в этих видах спорта вращающийся мяч будет двигаться по спирали. В баскетболе и гандболе имеет место противоположная картина: здесь доминирует сила тяжести, а значит, движение вращающегося мяча не приводит к серьезному искривлению траектории. Наконец, есть категория видов спорта, в которых эффекты аэродинамики и гравитации приблизительно одинаковы, — это футбол, бейсбол и волейбол.

В этом списке отдельного внимания заслуживает футбол. Для него характерный масштаб спирали ( = 54 м) в два раза меньше характерного масштаба действия гравитации. Это значит, что движение вращающегося мяча будет существенно отклоняться от прямой линии только тогда, когда он пролетел достаточно большое расстояние. Только в этом случае траектория полета мяча становится «невероятной».

Возвращаясь к голу Роберто Карлоса, заметим, что расстояние до ворот сборной Франции во время исполнения игроком сборной Бразилии штрафного удара составляло приблизительно 35 метров. Данное значение хоть и близко к характерному масштабу спирали в футболе, но всё же меньше его. Однако поскольку Роберто Карлос не просто придал мячу вращение, но и еще за счет сильного удара сообщил ему скорость в 1,5 раза выше «обычного» максимального значения 30 м/с, указанного в таблице, масштаб действия гравитации увеличился более чем в два раза, и сила тяжести начала оказывать куда меньшее влияние на полет мяча. Это, в сочетании с большим расстоянием до ворот, и привело к тому, что мяч залетел в ворота по крутой дуге.

Источник: Guillaume Dupeux, Anne Le Goff, David Quéré and Christophe Clanet. The spinning ball spiral // New J. Phys. 12, 093004 (2010).

Юрий Ерин