Вещественные типы

В отличии от порядковых типов (все целые, символьный, логический), значения которых всегда сопоставляются с рядом целых чисел и, следовательно, представляются в памяти машины абсолютно точно, значение вещественных типов определяет число лишь с некоторой конечной точностью, зависящей от внутреннего формата вещественного числа.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В ПАМЯТИ. В некоторых областях вычислений требуются очень большие или весьма малые действительные числа. Для получения большей точности применяют запись чисел с плавающей точкой. Запись числа в формате с плавающей точкой является весьма эффективным средством представления очень больших и весьма малых вещественных чисел при условии, что они содержат ограниченное число значащих цифр, и, следовательно, не все вещественные числа могут быть представлены в памяти. Обычно число используемых при вычислениях значащих цифр таково, что для большинства задач ошибки округления пренебрежимо малы.

Формат для представления чисел с плавающей точкой содержит одно или два поля фиксированной длины для знаков. Количество позиций для значащих цифр различно в разных ЭВМ, но существует, тем не менее, общий формат, приведенный на рисунке 2.5 а). В соответствии с этой записью формат вещественного числа содержит в общем случае поля мантиссы, порядка и знаков мантиссы и порядка.

Однако, чаще вместо порядка используется характеристика, получающаяся прибавлением к порядку такого смещения, чтобы характеристика была всегда положительный. При этом имеет место формат представления вещественных чисел такой, как на рис 2.5 б).

Рис. 2.5. Формат представления вещественных чисел

Введение характеристики избавляет от необходимости выделять один бит для знака порядка и упрощает выполнение операций сравнения (<,>, <=,>=) и арифметических операций над вещественными числами. Так, при сложении или вычитании чисел с плавающей точкой для того, чтобы выровнять операнды, требуется сдвиг влево или вправо мантиссы числа. Сдвиг можно осуществить с помощью единственного счетчика, в который сначала заносится положительное число, уменьшающееся затем до тех пор, пока не будет выполнено требуемое число сдвигов.

Таким образом, для представления вещественных чисел в памяти ЭВМ порядок p вещественного числа представляется в виде характеристики путем добавления смещения (старшего бита порядка):

Х = 2^n-1 + k + p, (2.1)

где n - число бит, отведенных для характеристики, p - порядок числа,

k - поправочный коэффициент фирмы IBM, равный +1 для real и

-1 для форматов single, double, extended.

Формулы для вычисления характеристики и количество бит, необходимых для ее хранения, приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Следующим компонентом представляемого в машине числа с плавающей точкой является мантисса. Для увеличения количества значащих цифр в представлении числа и исключения переполнения при умножении мантиссу обычно подвергают нормализации. Нормализация означает, что мантисса (назовем ее F), кроме случая, когда F=0,должна находиться в интервале

R^-1 <= F < 1.

Для двоичной системы счисления R=2. Тогда в связи с тем, что

2^-1 <= F < 1, ненулевая мантисса любого хранимого числа с плавающей точкой должна начинаться с двоичной единицы. В этом и заключается одно из достоинств двоичной формы представления числа с плавающей точкой. Поскольку процесс нормализации создает дробь, первый бит которой равен 1, в структуре некоторых машин эта единица учитывается, однако не записывается в мантиссу. Эту единицу часто называют скрытой единицей, а получающийся дополнительный бит используют для увеличения точности представления чисел или их диапазона.

Приведенный метод нормализации является классическим методом, при котором результат нормализации представляется в виде правильной дроби, т.е. с единицей после точки и нулем в целой части числа. Но нормализацию мантиссы можно выполнить по-разному.

В IBM PC нормализованная мантисса содержит свой старший бит слева от точки. Иными словами нормализованная мантисса в IBM PC принадлежит интервалу 1 <= F < 2. В памяти машины для данных типа real, single, double этот бит не хранится, т.е. является "скрытым" и используется для увеличения порядка в форматах single или для хранения знака в формате real. Для положительных и отрицательных чисел нормализованная мантисса в памяти представлена в прямом коде.

Первый, старший, бит в представлении чисел в формате с плавающей точкой является знаковым, и по принятому соглашению нуль обозначает положительное число, а единица - отрицательное.

Число бит для хранения мантиссы и порядка зависит от типа вещественного числа. Суммарное количество байтов, диапазоны допустимых значений чисел вещественных типов, количество значащих цифр после запятой в представлении чисел приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3

АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ МАШИННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННОГО ЧИСЛА В ПАМЯТИ ЭВМ. Алгоритм формирования состоит из следующих пунктов:

1). Число представляется в двоичном коде.

2). Двоичное число нормализуется. При этом для чисел, больших единицы, плавающая точка переносится влево, определяя положительный порядок. Для чисел, меньших единицы, точка переносится вправо, определяя отрицательный порядок.

3). По формуле из таблицы 2.2 с учетом типа вещественного числа определяется характеристика.

4). В отведенное в памяти поле в соответствии с типом числа записываются мантисса, характеристика и знак числа. При этом необходимо отметить следующее:

* для чисел типа real характеристика хранится в младшем байте памяти, для чисел типа single, double, extended - в старших байтах;

* знак числа находится всегда в старшем бите старшего байта;

* мантисса всегда хранится в прямом коде;

* целая часть мантиссы (для нормализованного числа всегда 1) для чисел типа real, single, double не хранится (является скрытой). В числах типа extended все разряды мантиссы хранятся в памяти ЭВМ.

МАШИННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ ТИПА REAL. Формат машинного представления данных типа REAL следующий:

мл. байт ст. байт

а: 7 0 15 8 23 16 31 24 39 32 47 40

x....x м... м м... м м... м м... м sм... м

б: 7 0 -32 -39 -24 -31 -16 -23 -8 -15 -1 -7

где а - номера разрядов памяти,

б - показатели степеней разрядов характеристики и мантиссы,

s - знаковый разряд числа,

м - нормализованная мантисса,

х - характеристика числа.

Например: 1). Десятичное число 15.375;

в двоичной системе счисления 1111.011;

результат нормализации 1.111011*2³; р=3.

Учитывая отбрасывание неявной единицы и сдвиг порядка, получаем:

s=0; х=2⁷+1+3=2⁷+2²=132;

в двоичной системе счисления х=10000100; м=1110110...0;

машинное представление числа:

10000100 00000000 00000000 00000000 00000000 01110110

.

Date: 2015-09-05; view: 328; Нарушение авторских прав