Системы счисления

Система счислення - это способ представления чисел с помощью знаков (цифр, символов).

Количество символов, которые используются в системе счислення, называется основой системы счислення.

Системы счислення бывают позиционные и непозиционные.

В позиционных системах счислення "вес" цифры зависит от ее позиции в числе. Любое число в позиционной системе счислення, записанное в естественной форме, может быть представлено рядом:

.

Правило перевода с 10- й системы счислення: чтобы перевести целое число с 10- й системы счислення другую, необходимо последовательно делить исходное число, записанное в 10- й системе счислення, на основу новой системы счислення до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше основы новой системы счислення. Результат выходит из остатков деления, записанных в обратном порядке.

В двоичной системе счислення возможное выполнение разных арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.

Переклад з однієї системи счислення до іншої правильних дробів.

Нехай є число , що є правильною дроб’ю у -й системі счислення, тобто . Переклад числа з кожної -ї системи счислення до -ї здійснюється в -й системі за наступним алгоритмом:

1) число збільшується на число , у результаті чого виходить ціла частина і дробова частина добутку. Число відповідає цифрі .

2) число збільшується на число , у результаті чого виходить ціла частина і дробова частина добутку. Число відповідає цифрі .

Процес множення продовжується до одержання необхідної кількості знаків числа в -й системі счислення.

8-ною називається система счислення з основою 8, у якій використовуються наступні цифри: 0,1,2,3,4,5,6,7.

Правило перекладу з 2-ї системи счислення до 8-ної: щоб перевести ціле число з 2-ї системи счислення до 8-ної, необхідно розбити двійкове число на тріади – сукупність трьох двійкових розрядів, починаючи з кінця числа. Кожну тріаду окремо перевести до 8-ної системи счислення. Результат виходить із записів результатів переведення кожної тріади до 8-ної системи счислення.

Приклад: необхідно перевести число 10111111111b до 8-ної системи счислення. Розбиваємо число на тріади. Отримуємо: 10 111 111 111. Оскільки старша тріада містить тільки 2 двійкових розряди, то необхідно дописати перед нею 0, щоб було три розряди (загальний результат від цього не зміниться). Таким чином, отримуємо число: 010 111 111 111. Виконуємо переклад кожної тріаду окремо до 8-ної системи счислення. Результат перекладу: 2 7 7 7. Тобто число 10111111111b=2777₈.

Правило перекладу з 8-ної системи счислення до двійкової: щоб перевести ціле число з 8-ної системи счислення до двійкової, необхідно кожну цифру восьмиричного числа окремо перевести до двійкової системи счислення. Результат виходить із записів результатів переведення кожної цифри в двійковій системі счислення.

Приклад: необхідно перевести число 353₈ до двійкової системи счислення. Виконуємо переклад кожної цифри числа до двійкової системи счислення окремо. Отримуємо: 011 101 011. Таким чином, число 353₈=11101011b.

У 8-ній системі счислення можливе виконання різних арифметичних операцій: додавання, вирахування, множення, розподілу і т.д. При цьому необхідно пам’ятати, що повний десяток в 8-ній системі счислення містить 8 одиниць.

16-ричною (позначається буквою h – hex) називається система счислення з основою 16, у якій для відображення чисел використовуються наступні цифри і букви: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Правило перекладу з 2-ї системи счислення до 16-ричної: щоб перевести ціле число з 2-ї системи счислення до 16-ричної, необхідно розбити двійкове число на тетради – сукупність чотирьох двійкових розрядів, починаючи з кінця числа. Кожну тетраду окремо перевести до 16-ричної системи счислення. Результат виходить із записів результатів переведення кожної тетради до 16-ричної системи счислення.

Приклад: необхідно перевести число 10111111111b до 16-ричної системи счислення. Розбиваємо число на тетради. Отримуємо: 101 1111 1111. Оскільки старша тетрада містить тільки 3 двійкових розряди, то необхідно дописати перед нею 0, щоб було чотири розряди (загальний результат від цього не зміниться). Таким чином, отримуємо число: 0101 1111 1111. Виконуємо переклад кожної тетради окремо до 16-ричної системи счислення. Результат перекладу: 5 F F. Тобто число 10111111111b=5FFh.

Правило перекладу з 16-ричної системи счислення до двійкової: щоб перевести ціле число з 16-ричної системи счислення до двійкової, необхідно кожну цифру 16-ричного числа окремо перевести до двійкової системи счислення. Результат виходить із записів результатів переведення кожної цифри в двійковій системі счислення.

Приклад: необхідно перевести число 7ADh до двійкової системи счислення. Виконуємо переклад кожної цифри числа до двійкової системи счислення окремо. Отримуємо: 0111 1010 1101. Таким чином, число 7ADh=11110101101b.

У 16-ричній системі счислення можливе виконання різних арифметичних операцій: додавання, вирахування, множення, розподілу і т.д. При цьому необхідно пам’ятати, що повний десяток в 16-ричній системі счислення містить 16 одиниць.