Завдання

План

1. Означення неперервної функції.

2. Приклади неперервних функцій.

3. Дії над неперервними функціями.

4. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

$ Література:

[11] Розділ Ш; §11,23,25,26;с.153-169.

þ Методичні вказівки.

Увагу необхідно звернути на поняття неперервності функції в точці, на відрізку.

Навчитися розрізняти неперервні функції та встановлювати точки розриву функції; вивчити теореми про властивості функцій неперервних на відрізку.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: означення неперервної функції, теореми про властивість неперервних функцій;

вміти: розрізняти неперервні функції, наводити приклади неперервних функцій.

^ Питання для самоперевірки

1. Дати означення неперервної функції;

2. Яку функцію називають неперервною на інтервалі?

3. Навести приклади неперервних функцій;

4. Які операції можна виконувати над неперервними функціями;

5. Яка з функцій неперервна в області її визначення

Тема 2. Методи розв”язування систем лінійних рівнянь: метод оберненої матриці.

Мета: Вивчити поняття оберненої матриці, навчитися знаходити матрицю обернену до даної, розв’язувати систему лінійних рівнянь методом оберненої матриці.

План

1. Поняття оберненої матриці.

2. Алгоритм знаходження оберненої матриці.

3. Розв’язування системи лінійних рівнянь методом оберненої матриці.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р. стор. 133-152

М.К. Бугір Математика для економістів. - К.: Академія, 1998. р3 § 5 р4 §4

þ Методичні вказівки.

При вивченні цього розділуособливу увагу необхідно звернути на поняття матриці, сумісності та ви­значеності систем лінійних алгебраїчних рівнянь, алгоритму знаходження оберненої матриці.

Навчитисярозв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: поняття матриці, різновиди матриць, обернені матриці.

вміти: виконувати дії над матрицями, елементарні перетворення матриць; знаходити обернені матриці; знаходити розв’язок системи лінійних рівнянь методом оберненої матриці..

^ Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення оберненої матриці.

2. За яким алгоритмом знаходиться обернена матриця.

3. Запишіть систему m лінійних рівнянь з n невідомими.

4. Як можна записати її розв’язок.

5. В чому полягає метод оберненої матриці розв’язування системи рівнянь. Подумайте над розв’язуванням системи рівнянь, зокрема над алгоритмом розв’язування.

6. Знайдіть матрицю обернену до матриці .

7. Матричним методом розв’яжіть систему рівнянь:

Тема 3. Методи розв”язування систем лінійних рівнянь: метод Крамера.

Мета: Вивчити поняття оберненої матриці, навчитися знаходити матрицю обернену до даної, розв’язувати систему лінійних рівнянь методом Крамера.

План

1. Алгоритм розв”язування. Формули Крамера.

2. Розв’язування системи лінійних рівнянь методом Крамера.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р. стор. 133-152

М.К. Бугір Математика для економістів. - К.: Академія, 1998. р3 § 5 р4 §4

þ Методичні вказівки.

При вивченні цього розділуособливу увагу необхідно звернути на поняття визначника системи, правила обчислення визначників,сумісності та ви­значеності систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Навчитисярозв'язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: понятт я визначника системи, змінних, умову сумісності системи, формули Крамера.

вміти: знаходити розв’язок системи лінійних рівнянь Крамера.

^ Питання для самоперевірки

1. За яким алгоритмом розв”язується система ЛР методом Крамера..

2. Запишіть систему m лінійних рівнянь з n невідомими.

3. Як можна записати її розв’язок.

4. В чому полягає метод Крамера розв’язування системи рівнянь. Подумайте над розв’язуванням системи рівнянь, зокрема над алгоритмом розв’язування.

5. Методом Крамера розв’яжіть систему рівнянь:

Тема 4. Прямокутна система координат на площині та в просторі. Метод координат.Вектори.

Мета: Поглибити поняття прмокутної декартової системи координат на площині та в просторі, метод координат.

План

1. Прямокутна система координат на площині та в просторі, координати, напрямні косинуси, базис.

2. Метод координат

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

М.К. Бугір Математика для економістів. - К.: Академія, 1998.р.1. §4.стр.13-16

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.. § 1.10

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: поняття декартової системи координат; поняття вектора та векторного простору, базису векторного простору.

вміти: виконувати дії над вектора­ми, заданими в координатній формі, знаходити скалярний добуток векторів, кут між векторами, довжину вектора;

розкладати вектори на лінійну комбінацію базисних векторів; визначати лінійну залежність і незалежність векторів.

Питання для самоперевірки

1. Що таке прмокутна декартова система координат на площині та в просторі,

2. В чому полягає метод координат. Що таке напрямні косинуси?

3. Які вектори утворюють базис?

4. Як визначити лінійну залежність і незалежність векторів?

5. Виконати дії. + - 2 ;

6. Знайти сторони і кути трикутника АВС, якщо А , В , С .

Тема 5. Вектори. Векторні простори. Розклад вектора за базисом. Лінійна залежність і незалежність векторів.

Мета: Вивчити поняття вектора та векторного простору, базису векторного простору, розкладати вектори на лінійну комбінацію базисних векторів,

План

3. Вектор: означення, координати, напрямні косинуси, базис.

4. Лінійна залежність і незалежність векторів.

5. Розклад вектора за базисом.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

М.К. Бугір Математика для економістів. - К.: Академія, 1998.р.1. §4.стр.13-16

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.. § 1.10

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: поняття декартової системи координат; поняття вектора та векторного простору, базису векторного простору.

вміти: виконувати дії над вектора­ми, заданими в координатній формі, знаходити скалярний добуток векторів, кут між векторами, довжину вектора;

розкладати вектори на лінійну комбінацію базисних векторів; визначати лінійну залежність і незалежність векторів.

Питання для самоперевірки

1. Що таке вектор, які види векторів ви знаєте?

2. В чому полягає геометрична інтерпретація вектора? Що таке напрямні косинуси?

3. Які вектори утворюють базис?

4. Як визначити лінійну залежність і незалежність векторів?

5. Перевірити, чи наведені нижче вектори лінійно незалежні і чи утворюють вони базис простору:

, , ;

, , , .

Тема 6. Пряма лінія на площині. Рівняння прямої.

Мета: Закріпити поняття рівняння лінії на площині, навчитися виводити різні типи рівнянь на площині.

План

1. Різні види рівнянь прямої на площині:

1.1 Загальне рівняння площини.

1.2 Рівняння площини з кутовим коефіцієнтом.

1.3 Рівняння площини у відрізках.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: різновиди рів­нянь прямої лінії на площині; умови паралельності та перпендику­лярності прямих, заданих загальним рівнянням та рівнянням з куто­вим коефіцієнтом;

вміти: будувати пряму за її рівнянням; переходити від однієї форми запису прямої до іншої; визначати кут між прямими за їх рівняннями; знаходити відстань від точки до прямої, відстань між точками, координати точок ділення відрізка; записувати рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки.

Питання для самоперевірки

1. Запишіть рівняння прямої на площині.

2. Де можна застосувати властивості лінійної залежності між величинами?

3. Записати рівняння прямої, яка проходить через точки М(-8;-2) і К (0; 2).

4. Записати рівняння прямої, яка проходить через точку М(4;-1) і є паралельною до вектора (-1;8).

Тема 7. Пряма лінія та її використання в економіці.

Мета: Закріпити поняття рівняння лінії на площині, навчитися застосовувати методи аналітичної геометрії до економічних задач.

План

1. Різні види рівнянь прямої на площині.

2. Використання в економічних задачах властивостей лінійної залежності між величинами..

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: різновиди рів­нянь прямої лінії на площині; використовувати властивості прямої до економічних процесів.

вміти: будувати пряму за її рівнянням; переходити від однієї форми запису прямої до іншої; застосовувати набуті знання в економічних задачах.

Питання для самоперевірки

1. Витрати при перевезенні деякого вантажу трьома видами транспорту об­числюються, відповідно, за формулами:

у₁=150 + 50х, у₂=250 + 25х, у₃=350 + 25x;

де х — відстань у сотнях кілометрів, у_ь у₂, yз - вартість перевезення в тис. грн. Графічно знайдіть, на яку відстань і яким видом транспорту пе­ревозити вантаж економніше:

1) при використанні всіх видів транспорту;

2) при використанні другого і третього видів транспорту;

3) при використанні першого і третього видів транспорту.

2. Із пункту А в пункти В, С, D, Евантаж можна доставити трьома видами транспорту - водним, залізничним, автомобільним. Витрати при переве­зенні вантажу обчислюються, відповідно, за формулами:

у_в=25 + 25х, у_з=50 + 25х, у_а =37 + 8 х,

де х — відстань у сотнях кілометрів; у - вартість перевезення вантажу. Обчисліть графічно, яким видом транспорту найекономніше доставити вантаж у пункти В, С, D, Е, якщо відстань від пункту А до цих пунктів, відповідно, дорівнює 200, 300, 500, 900 км.

3. Витрати на виробництво 100 умовних одиниць становлять 300 грн., а на виробництво 1000 умовних одиниць продукції - 1200 грн. Обчисліть ви­ трати на виробництво 800 умовних одиниць продукції, якщо функція ви­ трат лінійна. Розв'яжіть графічно.

Тема 8. Кут між площинами. Відстань від точки до площини.

Мета: Закріпити поняття рівняння площини в просторі, навчитися застосовувати методи аналітичної геометрії до розв’язування задач.

План

1. Різні види рівнянь площини в просторі.

2. Кут між площинами. Відстань від точки до площини.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: загальне рівняння площини та його окремі випадки; формулу кута між площинами; формулу відстані від точки до площини;

вміти: визначати кут між площинами в просторі, відстань від точки до площини.

Питання для самоперевірки

1. Запишіть рівняння площини в просторі.

2. За якою формулою можна визначити кут між площинами?

3. Як визначається відстань від точки простору до площини?

4. Скласти рівняння площини, якщо вона проходить через точку А₁(1;-2;3), А₂ = (5;8;1), А₃(-1;0;3) і знайти координати вектора перпендикулярного до неї.

5. Знайти відстань від точки А(3;2;-1) до площини 3х-2у-z+5=0

Тема 9. Взаємне розташування прямої і площини.

Мета: Закріпити поняття рівняння площини в просторі, навчитися застосовувати методи аналітичної геометрії до розв’язування задач.

План

1 Взаємне розташування прямої і площини.

2 Умови перпендикулярності та паралельності прямої і площини в просторі.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: загальне рівняння площини та його окремі випадки; умови розташування прямої і площини в просторі.

вміти: визначати кут між площинами в просторі, відстань від точки до площини, досліджувати на паралельність, перпендикулярність прямої і площини в просторі.

Питання для самоперевірки

1 Запишіть рівняння площини в просторі.

2 За якою формулою можна визначити взаємне розташування двох площин? Двох прямих? Прямої і площини?

3 Дослідити взаємне розташування площин в прострі: 3х-2у-z+5=0 і х+3у—z – 5 =0

Тема 10. Складання рівнянь кривих другого порядку.

Мета: навчитися складати рівняння кола, еліпса, гіперболи, параболи та зводити їх до канонічного виду.

План

1. Рівняння кривих другого порядку та їх графіки.

2. Виведення рівнянь кола, еліпса, гіперболи, параболи..

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: загальне рівняння кривих другого порядку; рівняння кола, еліпса, гіперболи, параболи.

вміти: розв”язувати приклади на знаходження рівнянь кривих другого порядку.

Завдання.

1. Скласти рівняння кола, що проходить через точки АВ якщо відомо, що центр кола лежить на прямій l

2. Скласти канонічне рівняння еліпса, який проходить через точку М(5;0), якщо фокальна відстань дорівнює 6.

3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, яка проходить через точку М, якщо фокальна відстань дорівнює 10.

4. Знайти рівняння параболи, якщо її вершина міститься в точці А (-4;5), а фокус – у точці В(-2;5).

5. Доведіть, що подане рівняння є рівнянням кола. Знайдіть його центр і радіус:
1) х² - 2х + 4у + у² - 20 = 0; 2) х² - 6х + 10у + у² + 9 = 0.

6. Складіть рівняння кола, центр якого збігається з початком координат, якщо коло дотикається до прямої x=3.

7. Запишіть рівняння кола, центр якого розташований у точці перетину прямих 2х+Зу-13 = 0, х + у -5 = 0, якщо воно дотикається до осі ор­динат.

8. Запишіть рівняння кола, яке проходить через точку iV(6; 2), з центром у точці С(2; 1).

Тема 11. Зведення загальних рівнянь кривих ліній другого порядку до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого порядку на пл..

Мета: Зведення загальних рівнянь кривих ліній другого порядку до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого порядку на площи­ні: кола, еліпса, гіперболи, параболи.

План

1. Рівняння ліній другого порядку на площині: кола, еліпса, гіперболи, параболи.

2. Зведення загальних рівнянь кривих ліній другого порядку до одного з канонічних рівнянь кривих ліній другого порядку на площи­ні.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Г.Я. Дудка. Практикум з математики для економістів. Львів,1998.стр.211

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: означення та канонічні рівняння ліній другого порядку на площині: кола, еліпса, гіперболи, параболи;

вміти: визначати параметри та координати фокусів еліпса, гі­перболи і параболи, їх ексцентриситети та рівняння директрис; буду­вати криві другого порядку: коло, еліпс, гіперболу, параболу за їх канонічними рівняннями; визначати вид кривої другого порядку за її загальним рівнянням та зводити це рівняння до канонічного шляхом виділення повного квадрату.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення ліній другого порядку на площині: кола, еліпса, гіперболи, параболи

2. Запишіть рівняння ліній другого порядку на площині: кола, еліпса, гіперболи, параболи.

3. Зведіть рівняння до канонічного шляхом виділення повного квадрату: 11х²+125у²-275=0, х²+ у²+4х-2у-4=0

Тема 12. Поняття функції. Види функцій. Елементарні функції. Дослідження властивостей елементарних функцій.

Мета: Закріпити означення функціональної залежності, функції в економіці, дослідження основних властивостей функцій: області визначення, парності, непарності, періодичності за аналітичним заданням функції та застосування їх в економічних дослідженнях.

План

1. Функція. Дослідження функцій.

2. Побудова графіків елементарних функцій.

3. Застосування основних властивостей функцій в економічних дослідженнях.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Г.Я. Дудка. Практикум з математики для економістів. Львів,1998.стр.61-106

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р. стр19-25.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: поняття функціональної залежності, способи задання функцій, аналітичне задання основних елементарних функцій, їх вла­стивості; означення парних і непарних, періодичних функцій, їх влас­тивості; поняття складних функцій як суперпозиції основних елемен­тарних;

вміти: будувати графіки основних елементарних функцій; про­водити дослідження властивостей функцій за їх аналітичним заданням; записувати складні функції у вигляді суперпозиції основних еле­ментарних функцій.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення функції.

2. Класифікуйте функції зі їх властивостями та будовою.

3. Побудуйте графіки елементарних функцій і пригадайте їх основні властивості.

Тема 13. Поняття границі функції в точці. Обчислення границь.

Мета: Закріпити поняття границі функції в точці, навчитися обчислювати границі функцій.

План

1 Поняття границі функції в точці.

2 Методи обчислювати границі функцій.

$ Література:

Питання для самоперевірки

1 Сформулюйте означення границі функції в точці.

2 Обчислювати границі функцій:

2.1 ; б) .

2.2а) ; б) .

2.3а) ; б) .

2.4а) ; б) .

2.5а) ; б) .

2.6а) ; б) .

2.7а) ; б) .

2.8а) ; б) .

Тема 14. Поняття неперервності функції в точці. Властивості неперевних функцій.

Мета: Закріпити поняття неперервності функції в точці, навчитися досліджувати функцію на неперервність.

План

1 Поняття неперервності функції в точці.

2 Метод досліджування функцій на неперервність.

$ Література:

Питання для самоперевірки

1 Сформулюйте означення неперервності функції в точці.

2 Умови неперервності функції в точці.

3 Дослідити функції на неперервність:

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

Тема 15. Точки розриву функцій та їх класифікація.

Мета: Вивчитипоняття неперервності функції у точці та на відрізку, власти­вості неперервних функцій, класифікувати точки розриву функцій.

План

1. Поняття неперервності функції у точці та на відрізку.

2. Точки розриву функцій та їх види.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.118-125.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: означення границі функції в точці, означення неперервності функції у точці та на відрізку, означення точок розриву функцій та їх види.

вміти; обчислювати границі функцій в точці; досліджувати функції на неперервність у точці та на проміж­ку, визначати точки розриву функцій та їх види.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення границі функцій в точці, означення точок розриву функцій та їх види.

2. Пригадайте алгоритм дослідження функції на неперервність у точці та на проміж­ку.

3. Як визначити точку розриву і її вид?

4. Дослідити функцію на неперервність: f (x) = ; f (x) = .

Тема 16. Поняття числової послідовності, приклади числових послідов­ностей, границя послідовності.

Мета: Вивчитипоняття числової послідовності. Границя послідовності. Нескінченно малі та нескінченно великі величини, зв'язок між ними.

План

1. Поняття числової послідовності. Поняття нескінченно малих та нескінченно великих вели­чин.

2. Означення границі послідовності, основні тео­реми про границі.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р. стр.82-94.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: поняття нескінченно малих та нескінченно великих вели­чин, зв'язок між ними, означення границі послідовності, основні тео­реми про границі;

вміти: обчислювати границі послідовностей.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення числової послідовності.

2. Поняття нескінченно малих та нескінченно великих вели­чин.

3. Сформулюйте властивості нескінченно малих та нескінченно великих вели­чин.

4. Сформулюйте означення границі послідовності, основні тео­реми про границі.

Тема 17. Обчислення границя послідовності.

Мета: Навчитися обчислювати границю числової послідовності.

План

1. Поняття числової послідовності. Поняття нескінченно малих та нескінченно великих вели­чин.

2. Означення границі послідовності, основні тео­реми про границі.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р. стр.82-94.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: означення границі послідовності, основні тео­реми про границі;

вміти: обчислювати границі послідовностей.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення числової послідовності.

2. Сформулюйте основні тео­реми про границі.

3. Обчисліть границі послідовності:

; ; ; ; ; ;

; ; .

Тема 18. Використання поняття похідної в економіці

Мета: Навчитися використовувати поняття похідної в економічних задачах.

План

1. Поняття похідної в економіці.

2. Економічний зміст похідної.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.132,139-149.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: економічний зміст похідної, основні правила диференціювання, таблицю похідних основних елементарних функцій;

вміти: знаходити похідні у випадку явно, неявно, параметрично заданих функцій; знаходити похідні вищих порядків.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення похідної вищих порядків, пригадайте таблицю похідних основних елементарних функцій.

2. Сформулюйте економічний зміст похідної.

3. Розв”язати задачу:

Обсяг продукції, вироблений підприємством упродовж робочого дня, виражається функцією: U(t)=

де t - робочий час, 1 < t< 8. Знайти:

1) продуктивність праці, швидкість і темп її зміни;

2) при якому значенні t після початку роботи продуктивність праці
максимальна;

3) значення продуктивності праці, швидкості і темпу її зміни через
t = п {п = 1,…,8) годин після початку роботи.

Результати обчислень звести в таблицю та проаналізувати.

Тема 19. Похідна складної, оберненої, неявно заданих та параметрично заданих функцій.

Мета: Навчитися знаходити похідні основних елементарних функцій, похідні складних функцій, заданих неявно та параметрично.

План

1. Поняття похідної. Похідна складної, оберненої функцій.

2. Похідна неявно заданих та параметрично заданих функцій.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.132,139-149.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: основні правила диференціювання, таблицю похідних основних елементарних функцій;

вміти: знаходити похідні у випадку явно, неявно, параметрично заданих функцій; знаходити похідні вищих порядків.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення похідної, пригадайте таблицю похідних основних елементарних функцій.

2. Сформулюйте означення похідних неявно заданих та параметрично заданих функцій.

3. Знайти похідні заданих функцій:

1. а) у = (х⁴ – 1) б) 2у-9 = у³ ln х – e^уarcsinx

2. а) у = б) 2х =

3. а) у = б) у = ln + 2ух

4. а) у = а^х lg(x² + 4x +12) б) 5 =

5. а) у = (ln x + )e^47x б) у =

Тема 20. Похідні вищих порядків та їх застосування

Мета: Навчитися знаходити похідні вищих порядків.

План

1. Поняття похідної вищих порядків.

2. Застосування похідних вищих порядків.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.132,139-149.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: основні правила диференціювання, таблицю похідних основних елементарних функцій;

вміти: знаходити похідні у випадку явно, неявно, параметрично заданих функцій; знаходити похідні вищих порядків.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте означення похідної вищих порядків, пригадайте таблицю похідних основних елементарних функцій.

2. Сформулюйте економічний зміст похідної вищих порядків..

3. Знайти похідні функцій вищих порядків:

а) у= ; б) y= ;

в) y= arctgx + ; г) у= .

Тема 23. Найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Мета: Навчитися знаходитинайбільше та найменше значення функції на відрізку та застосовувати методику знаходження до практичних задач.

План

1. Поняття найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

2. Методика знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

3. Застосування поняття найбільшого та найменшого значення функції до практичних задач.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.168.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: основні теореми диференціального числення; необхідні та достатні умови зро­стання, спадання та екстремумів функцій, схему знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

вміти: визначати найбільше та найменше значення функції на відрізку та застосовувати методику знаходження до практичних задач, визначати точки перегину кривої.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте основні теореми диференціального числення.

2. Пригадайте схему знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

3. Пригадайте застосування другої похідної. Сформулюйте означення точок випуклості та вгнутості, точки перегину кривої.

4. Знайти найбільше та найменше значення функції f(x)=2х⁴ +8х³--16х²

на відрізку [- ;2].

Тема 24. Випуклість та вгнутість кривої.

Мета: В ивчити поняття та методику дослідження на випуклість та вгнутість кривої.

План

1. Випуклість та вгнутість кривої. Точки перегину.

2. Дослідження функції на випуклість та вгнутість.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.стр.168.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: основні теореми диференціального числення; необхідні та достатні умови зро­стання, спадання та екстремумів функцій, схему дослідження функцій на випуклість та вгнутість;

вміти: проводити дослідження функцій на випуклість та вгнутість.

Питання для самоперевірки

1. Пригадайте застосування другої похідної. Сформулюйте означення точок випуклості та вгнутості, точки перегину кривої.

2. Дослідити функцію на випуклість та вгнутість: f(x)= 2х³+4х²-14х;

; ;

Тема 25. Способи задання функції багатьох змінних. Лінії рівня.

Мета: Вивчитипоняттяфункції багатьох змінних; поняття ча­стинного приросту та частинних похідних функцій багатьох змінних, градієнта; навчитися будувати лінії рівня функції двох змінних.

План

1. Поняття функції багатьох змінних.

2. Способи задання функції багатьох змінних.

3. Поняття ча­стинного приросту та частинних похідних функцій багатьох змінних.

4. Поняття градієнта.

5. Побудова лінії рівня функції двох змінних.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Розділ 15.1-15.12.

О.І. Соколенко. Вища математика,Київ,2002 р.

Після вивчення теми студенти повинні:

знати: способи задання функцій багатьох змінних; поняття ча­стинного приросту та частинних похідних функцій багатьох змінних, градієнта;

вміти: визначати область визначення функцій багатьох змінних; будувати лінії рівня функції двох змінних; знаходити частинні похідні першого та вищих порядків функції багатьох змінних;

Питання для самоперевірки

1. Що називається функцією багатьох змінних?

2. Які є способи задання функцій багатьох змінних?

3. Що таке частинні похідні, повний диференціал?

4. За якою формулою знаходять похідну за напрямом. Градієнт.

5. Знайти область визначення функцій: Z = ;Z =

6. Знайдіть градієнт функції: Z = ; Z= ; Z =

Тема 26. Визначення параметрів параболічної функціональної залежності.

Мета: Вивчитиметод множників Лагранжа знаходження умовного екстре­муму функції двох змінних, метод найменших квадратів визначення параметрів лінійної та параболічної функціональних залежностей.

План

1. Метод множників Лагранжа знаходження умовного екстре­муму функції двох змінних

2. Метод найменших квадратів.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.1, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: метод множників Лагранжа знаходження умовного екстре­муму функції двох змінних; метод найменших квадратів визначення параметрів лінійної та параболічної функціональних залежностей;

вміти: за ем­піричними даними визначати параметри та будувати лінійну та пара­болічну функціональні залежності.

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте в чому полягає метод множників Лагранжа знаходження умовного екстре­муму функції двох змінних.

2. Як за ем­піричними даними визначати параметри та будувати лінійну та пара­болічну функціональні залежності?

Тема 27. Інтегрування тригонометричних функцій.

Мета: Вивчитиметоди інтегрування тригонометричних функцій.

План

1. Основні тригонометричні підстановки та способи їх застосування..

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.ІІ, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: тригонометричні тотожності, методи тригонометричних підстановок;

вміти: інтегрувати тригонометричні функції.

Питання для самоперевірки

1. Пригадайте основня тригонометричні тотожності та формули тригонометричних залежностей..

2. Якими методами можна інтегрувати тригонометричні функцї

3. Проінтегрувати функції:

1. ;

2. ;

3.

4.

5. ;

6.

Тема 28. Поняття про невласний, подвійний інтеграли

Мета: Вивчитипоняття невласних та подвійних інтегралів. Ознайомитися з методами обчислення подвійний та невласних інтегралів.

План

1. Основні означення та властивості невласних та подвійних інтегралів.

2. Повторний інтеграл. Обчислення повторних інтегралів.

3. Методи наближеного обчислення визначених інтегралів.

4. Невласні інтеграли першого та другого роду та їх дослідження на збіжність.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.ІІ, К,2001р.

þ Методичні вказівки.

При вивченні цього розділуособливу увагу необхідно звернути на поняття повторного та подвійного інтегралів, основні методи обчислення; повторити поняття визначеного інтегралу, ознайомитися з поняттям невласних інтегралів, методами наближених обчислень інтегралів.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: означення невласних та подвійних інтегралів.

Вміти: обчислювати невласні інтеграли, доводити їх збіжність (розбіжність); обчислювати подвійний інтеграл.

^ Питання для самоперевірки

1. Сформулювати означення повторного, подвійного інтегралів.

2. Які є методи обчислення подвійних інтегралів.

3. Яка відмінність між визначеним інтегралом і невласним?

4. Як досліджувати невласні інтеграли на збіжність?

5. Обчислити інтеграли: , ,

Тема 29. Автономні диференціальні рівняння.

Мета: Вивчитиметоди інтегрування тригонометричних функцій.

План

1. Задачі які приводять до поняття диференціальних рівнянь.

2. Автономні диференціальні рівняння.

$ Література:

К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч.ІІ, К,2001р.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: поняття диференціальних рівнянь, задачі, які приводять до поняття диф.рівнянь.

вміти: використовувати математичну модель поняття диф.рівнянь до практичниз задач..

Питання для самоперевірки

1. Сформулювати основні поняття диференціальних рівнянь.

2. Навести приклади автономних диференціальних рівнянь.

Тема 30. Ряди Тейлора, Маклорена. Застосування розкладу в ряд деяких функцій.

Мета: Вивчитиряди Маклорена та формули їх розкладу..

План

1. Похідна степеневої функції

2. Формула бінома Ньютона.

3. Розклад фyкцій за формулою Тейлора, Маклорена.

4. Обчислення радикалів.

$ Література:

1. К. Т. Валєєв, І. А. Джалладова. Вища математика, ч. 1, К. 2001р. стор. 422.

2. П. П. Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленка, ч. 1, К, «Техніка» 2000р., стор.387-399.

Після вивчення теми студенти повинні:

Знати: поняття ряду Тейлора, Маклорена., похідні функцій вищих порядків

вміти: використовувати формулу бінома Ньютона, обчислювати радикали, розкладати фyкцій за формулою Тейлора, Маклорена.

Питання для самоперевірки

^1. Виясніть, за якою формулою можна знайти похідну функції у=х^т

^2. Знайдіть похідну 3-го порядку функції у=(1+х)³

3. Розкладіть дану функцію у=cos2x за формулою Тейлора.

4. Знайдіть середне арифметичне виду

якщо х1=5, х2=4, х3=8, х4=10.