Определение многочленов Чебышева

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по курсу

"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ"

Тула 2011 г.

Содержание

1. Введение

2. Определение многочленов Чебышева

3. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1]

4. Случай произвольного отрезка

5. Дифференциальное уравнение многочленов Чебышева

6. Программная реализация

9. Заключение

Список используемых источников

Приложение

Введение

Многочлены Чебышева Т_{п (}х) являются одним из наиболее замечательных семейств многочленов. Они часто встречаются во многих областях математики, от теории аппроксимации до теории чисел и топологии трехмерных многообразий. Мы обсудим некоторые наиболее простые, но весьма важные свойства многочленов Чебышева.

Определение многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева - две последовательности ортогональных многочленов T_n (x) и U_n (x), n = {0,1,2…}, названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.

Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.

Многочлен Чебышева первого рода - T_n (x) - характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2 ^{n − 1}, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [− 1,1]. Впервые были рассмотрены самим Чебышёвым.

Способы определения:

1. Рекурсивное определение

Многочлены Чебышева первого рода - T_n (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

Многочлены Чебышева второго рода - U_n (x) - могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:

,

2. Явные формулы

Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:

в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:

Из последнего тождества также следуют явные формулы:

3. Тригонометрическое определение. Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:

или, что почти эквивалентно,

3. Многочлен Чебышева на отрезке [-1, 1]

В ряде вопросов численного анализа, связанных с проблемой минимизации погрешности вычислительного алгоритма, нашли применение многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля.

многочлен чебышев программная реализация

Рассмотрим следующую задачу: среди всех многочленов степени n со старшим коэффициентом 1 найти такой многочлен Tn (х), для которого величина

является минимальной. Многочлен, обладающий этим свойством, называется многочленом, наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [ - 1, 1] или многочленом Чебышева. Ниже будет показано, что функція

является многочленом Чебышева (см. графики в разделе "Приложения").

Рассмотрим сначала функцію

которая отличается от Тn (х) только постоянным множителем. Проводя преобразование

убеждаемся в том, что справедливо рекуррентное соотношение

Кроме того, согласно имеем . Отсюда и из по индукции легко доказать, что Pn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом Следовательно, Tn (x) - многочлен степени n со старшим коэффициентом 1.