Связь Платоновых тел с «золотым сечением»

Анализ Платоновых тел на Рис. 1 показывает, что два Платоновых тела - додекаэдр и двойственный ему икосаэдр непосредственно связаны с «золотым сечением». Действительно, гранями додекаэдра (Рис. 1-д) являются пентагоны, т.е., правильные пятиугольники, основанные на золотом сечении. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис. 1-г), то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотое сечение» играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотое сечение в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R_i. Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R_m. Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R_c. В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра,

имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию:

(Табл.2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и

для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотое сечение является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой « додекаэдро - икосаэдрической доктрины ».