Повний факторний експеримент

Повний факторний експеримент

Вступ до планування експерименту

Явища і технологічні процеси, які проходять в цукровому виробництві, багатогранні і складні, ціна обладнання висока і це змушує дослідників уважно продумувати план наступних експериментів, оптимізувати експеримент.

Ефективність експериментів у великій мірі залежить від методів їх проведення. Експерименти поділяють на пасивні і активні. Пасивні експерименти проводять традиційним методом, коли ставиться велика серія дослідів з послідовною зміною значень кожного параметра. До таких експериментів відноситься також збирання початкового статистичного матеріалу при нормальній роботі виробничого обладнання. Математичну модель в такому випадку отримують в результаті обробки методами статистики. Методи математичної статистики дозволяють оптимізувати процедуру обробки і аналізу інформації. Активний експеримент, з використанням методів планування, дозволяє також оптимізувати і етап постановки експерименту, коли інформації про механізм технологічного процесу мало і він не добре зрозумілий.

Розробка методів планування експерименту пов‘язана з роботами англійського статистика Р.Фішера. Головна мета планування експерименту по методу Р.Фішера складається в роздільному оцінюванню ефектів в багатофакторній ситуації. Пошук оптимальних умов проведення технологічних процесів в екстремальних умовах пов‘язано з роботами американських вчених Бокса і Уілсона. В нашій країні розвиток ідей пов‘язаних з плануванням експерименту опирається на роботи В.В.Налімова та його школи.

Оптимальний експеримент зменшує час проведення дослідів і витрачених грошей, збільшує надійність і достовірність результатів. Планування експерименту тісно зв‘язано з побудовою на його базі математичної моделі об‘єкта.

Результат експерименту на складному технологічному об‘єкті, де багато вхідних незалежних параметрів, є величина випадкова. Через те для обробки і аналізу експериментальних даних використовують методи математичної статистики. Рівняння регресії, яке отримують на основі експерименту, має вигляд поліному:

(9.1)

де b ₀ - вільний член рівняння регресії; b_j – лінійні ефекти, j = 1,2,…, k; b_jj - ефекти парної взаємодії; b_ujj - ефекти трійної взаємодії, x_j – фактори плану експерименту, y – поверхня відгуку.

Поліноміальні моделі справедливі тільки для об‘єкту, на якому проводиться експеримент. Вони широко використовуються для розв‘язання задач оптимізації і управління процесами харчових виробництв.

Планування експерименту дозволяє змінювати одночасно всі фактори і отримувати кількісні оцінки основних ефектів і ефектів взаємодії. Ці ефекти визначаються з меншою похибкою, чим при традиційних методах досліджень. Це дозволяє значно підвищити ефективність досліджень.

Повний факторний експеримент

При плануванні досліджень по плану повного факторного експерименту (ПФЕ) реалізуються всі можливі комбінації факторів на всіх вибраних для дослідження рівнях. Необхідна кількість дослідів N при ПФЕ визначається за формулою:

, (9.2)

де n – кількість рівнів; k – кількість факторів.

Якщо експерименти проводяться тільки на двох рівнях, при двох значеннях факторів і при цьому в процесі експерименту виконують всі можливі комбінації із k факторів, то постановка дослідів по такому плану називається повним факторним експериментом виду 2 ^k. Рівні факторів являють собою границю області, яка досліджується по даному технологічному параметру.

Наприклад, вивчається вплив на коефіцієнт коагуляції білку на попередній дефекації (y×10³) трьох факторів: температури (z₁) в діапазоні 60 – 90 ^оС, лужності (z₂) 0.2 – 0.4 %СаО, і тривалості процесу 6 – 16 хв. Для любого фактора знаходимо нульову точку:

(9.3)

і інтервал варіювання:

(9.4)

Точка з координатами (z₁⁰, …, z_k⁰) називається центром плану. Від натуральних значень змінних z₁, …, z_k перейдемо до нових безрозмірних x₁, …, x_k шляхом лінійних перетворень:

(9.5)

Для координат x₁, …, x_k верхній рівень дорівнює +1, нижній рівень –1, координати центру плану дорівнюють нулю і співпадають з початком координат. В нашому прикладі k = 3. Кількість можливих комбінацій N з трьох факторів на двох рівнях дорівнює N = 2^k = 2³ = 8. Натуральні і безрозмірні значення змінних представлені в таблиці.

План проведення експериментів запишемо у вигляді таблиці:

Представлений в таблиці план в безрозмірній формі геометрично може бути представлений у вигляді восьми вершин куба.

Рис. 9.1. Повний факторний експеримент 2³

Введемо в план стовпчик так званої фіктивної змінної x₀ = 1. З цим стовпчиком матриця планування має наступні властивості, представлені в формулах (9.6). Тут k – число незалежних факторів, N – число дослідів в матриці планування. Перша властивість (6) – рівність нулю скалярних добутків всіх вектор-стовпчиків – називається властивістю ортогональності матриці планування. Ця властивість значно зменшує складності, пов‘язані з розрахунком коефіцієнтів рівняння регресії, так як матриця коефіцієнтів нормальних рівнянь (Х ^Т Х) стає діагональною і її діагональні елементи дорівнюють числу дослідів в матриці планування N.

(9.6)

Коефіцієнти рівняння регресії по методу найменших квадратів визначаються за формулою:

(9.7)

Відповідно до цього любий коефіцієнт регресії b_j визначається скалярним добутком стовпчика середньоарифметичних значень ys на відповідний стовпчик x_j, діленням на кількість дослідів в матриці планування N:

(9.8)

Наприклад:

Відповідно отримаємо інші коефіцієнти b₀ = 3,595; b₂ = 0,5937; b₃ = -0,16. Запишемо повне рівняння регресії з коефіцієнтами взаємодії:

(9.9)

Для знаходження коефіцієнтів b₁₂, b₁₃, b₂₃ – ефектів парної взаємодії і коефіцієнта b₁₂₃ – ефекту потрійної взаємодії розширимо матрицю планування факторів у безрозмірній формі до виду:

Ефекти взаємодії визначаються за формулою:

, (9.10)

Відповідно значення: b₁₂ = -0,065; b₁₃ = -0,0212; b₂₃ = 0,1637; b₁₂₃ = 0,1275.

Коефіцієнти рівняння регресії (9) визначаються з однаковою точністю:

(9.11)

Маючи середні значення змінної стану ys, розрахуємо квадрати похибок дослідів (дисперсії), де M = 2 кількість повторних дослідів:

, для і = 1,..., N (9.12)

Отримаємо:

Сума всіх дисперсій = 0,0147

Перевіримо однорідність дослідних даних по критерію Кохрена. Розраховане значення критерію обчислюється за формулою:

а табличне визначаємо з урахуванням ступенів волі f₁ = M - 1 = 1 і f₂ = N = 8 і рівня значущості a = 0,05 по таблиці Gт = 0,68. Так як Gp < Gт, то можна зробити висновок, що дослідні дані однорідні.

Визначимо середню дисперсію всіх дослідів:

s _д² = Zsu/N = 0,0147/8 = 0,00184,

тоді точність обчислення коефіцієнтів рівняння дорівнює:

Якщо повторні досліди не виконуються, то проводяться M паралельних дослідів в центрі плану y_u⁰ і знаходиться їх середнє значення ys⁰. В цьому випадку дисперсія дослідів визначається за формулою:

(9.13)

Перевіримо значимість коефіцієнтів регресії. Для цього визначимо інтервал надійності: , де Т_Ст - табличне значення критерію Ст’юдента, визначене при a = 0,05 і рівні значущості f_д = N×(M - 1) = 8, і яке дорівнює Т_Ст = 2,306. Інтервал надійності дорівнює:

Так як çb_j ç > çDbç для всіх і-тих коефіцієнтів регресії, то це вказує на їх значимість, за винятком коефіцієнта b₁₃. В іншому випадку визначають розраховані значення критеріїв Ст‘юдента для кожного коефіцієнта регресії і порівнюють їх з табличним:

(9.14)

Таким чином рівняння регресії має вигляд:

Перевіримо адекватність отриманого рівняння по критерію Фішера. Розрахований критерій Фішера визначається рівнянням:

, (9.15)

де: , L – число значимих коефіцієнтів у рівнянні регресії рівне 7. Тоді F_p = 0,00722/0,00184 = 3,932. Табличне значення критерію Фішера для a = 0,05 і f_ад = N - L = 1 і f_д = N×(M - 1) = 8 дорівнює F_т = 5,3. Тому можна зробити висновок, що отримане рівняння адекватне дослідним даним і його можна використовувати в інженерній практиці.