Образец выполнения задания 1

Контрольные вопросы по теме.

Индивидуальные задания.

Образцы выполнения заданий.

ЦЕЛЬ: 1. Решение дифференциальных уравнений методами приближенных вычислений: а) методом Эйлера; б) методом конечных разностей (по явной и неявной схеме). 2.Углубление знаний по методам решения задач нестационарной теплопроводности численными методами, методике алгоритмизации задач и написанию вычислительных программ.

1. Контрольные вопросы по теме:

Общая характеристика методов приближенного решения дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера (метода ломаных).

Метод конечных разностей (МКР).

Условие сходимости МКР.

Явная схема МКР.

Неявная схема МКР.

Индивидуальные задания.

Задание 1. Составить решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка усовершенствованным методом ломаных на отрезке [0,2; 1,2] с шагом h=0,1 при начальном условии y(0,2)=0,25 с точностью до четырех десятичных знаков.

Образец выполнения задания 1

. Все вычисления представим в таблице (учитывая, что h/2=0,05), используя формулу , где

Решение дает значения x_i, y_i, (i=0,1,2,..,10) (первые два столбца таблицы).

Задание 2. Для заданных граничных условий (1-го, 2-го или 3-го рода) и начальных условий получить аппроксимирующие разностные уравнения; составить блок-схему и написать программу расчета нестационарного поля температур плоской стенки, реализующую конечно-разностный метод решения на основе метода прогонки по а) явной схеме; б) неявной схеме. Оценить устойчивость и сходимость решения по каждой из схем, и погрешность данных вычислительного эксперимента. Построить графики T (x, t ). Результаты решения представить в виде таблицы. Процесс расчета продолжать до 20сек с шагом Dt=1сек, толщину стенки разбить на 10 слоев.

Вариант 1-6. "Свободное" охлаждение.

Стенка, предварительно нагретая равномерно до постоянной температуры 1000°C, начинает в момент времени t=0 остывать, т.е. j₁(t)=j₂(t)=0^оС.

Вариант 7-12. Двухсторонний нагрев

Стенка в начальный момент времени t=0 имеет температуру, равную нулю, т.е., Т⁰₁=Т⁰₂=…=Т⁰₆=0. Начиная с момента времени t=0 стенка начинает нагреваться с двух сторон постоянной температурой j₁(t)=1000^оС и j₂(t)=1000^оС.

Вариант 13-18. Односторонний нагрев

Стенка в начальный момент времени t=0 имеет температуру, равную нулю, что соответствует нулевым начальным условиям. Начиная с момента времени t=0 стенка начинает нагреваться. При этом по одной поверхности стенки (при х =0) устанавливается постоянная температура j₁(t)=1000°С, а на другой(при х=l) поддерживается постоянная температура j₂(t)=0^оС.

Вариант 19-24. Одностороннее охлаждение

Стенка предварительно равномерно нагрета до постоянной температуры Т⁰₁=Т⁰₂= …=Т⁰₆=1000°С. Начиная с момента времени t=0 стенка начинает охлаждаться. При этом на одной поверхности стенки (х =0) устанавливается постоянная температура j₁(t)=0°С, а на другой (х=l)температура j₂(t)=1000°С.

Образец выполнения задания 2 (неявная схема)

Рассмотрим задачу двухстороннего нагрева толстой стенки с начальным распределением температуры при T(x_j)=T_j=0, j₁(t)=500^оС и j₂(t)=800^оС. Геометрические размеры и теплофизические параметры материала стенки заданы: l =30мм; l=45Вт/мК; r=7900кг/м³; с_р=455Дж/кгК; Dt=1сек, число разбиений n=6.

1. Определяем шаг по координате D x, и коэффициенты A, B, C (см. лекционный материал) D х =0,03/6=0,005м; A=0,25; B= -1,5; С =0,25.

2. Полагаем i =0. Определим значение функции , если задано начальное распределение температуры при , j=1,2,3,4,5: = 0,25´0+0,5´0+0,25´0=0, = 0, …. = 0.

3. Вычислим прогоночные коэффициенты : a₀=0, =0,166; =0,17; =0,17; =0,17; =0,17; =0,17.

4. Функции и заданы по условию задания: =500^оС, =800^оС.

5. Вычислим значение для j=1,2,....,5.

^oC,

6. Вычисляемзначения

^oC,

; ; ^oC.

7. Полученные значения температур используются для определения функции на предыдущем слoe. Полагаем .

8. Вычисления продолжаем в таком же порядке, начиная с пункта 1.