Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза, или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC — теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело — Френкеля.
Основные понятия

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения букв греческого, русского илатинского алфавитов (буквы заглавные)

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как ^[3] — «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

· пустое множество, обычно обозначается символом ;

· подмножество и надмножество;

· семейство множеств;

· пространство (Универсум);

· конституента.

Над множествами определены следующие операции:

· объединение (или сумма) (обозначается как );

· разность (обозначается как реже );

· дополнение (обозначается как или );

· пересечение (или произведение) (обозначается как );

· симметрическая разность (обозначается как реже ).

Для множеств определены следующие бинарные отношения:

· отношение равенства (обозначается как );

· отношение включения (обозначается как ).