Определение и основные свойства

Лекция 15

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО

Определение и основные свойства

В произвольном линейном пространстве отсутствуют понятия “длины”, “расстояния”, “величины угла” и других метрических характеристик. Однако их использование становится возможным, если в линейном пространстве дополнительно ввести специальную, определяемую ниже операцию.

Определение 15.1 Пусть в вещественном линейном пространстве каждой упорядоченной паре элементов x и y поставлено в соответствие вещественное число называемое скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы:

1)

2)

3)

4) , причем ,

тогда говорят, что задано евклидово пространство E.

Замечание. Аксиомы 1–4 в совокупности означают, что скалярное произведение есть билинейный (что следует из аксиом 2 и 3) и симметричный (следует из аксиомы 1) функционал, который, кроме того, порождает положительно определенный квадратичный (следует из аксиомы 4) функционал. Любой билинейный функционал, обладающий данными свойствами, может использоваться в качестве скалярного произведения.

Пример 15.1. Трехмерное геометрическое пространство со скалярным произведением,

является евклидовым.

Пример 15.2. Пространство -мерных столбцов

со скалярным произведением, определяемым по формуле , есть евклидово пространство.

Пример 15.3. Евклидовым будет пространство непрерывных на функций со скалярным произведением

.

Определение 15.2 В евклидовом пространстве E назовем

1) нормой (или длиной) элемента x число

;

2) расстоянием между элементами x и y число

.

Замечание. Для линейного пространства вещественных чисел норма числа совпадает с его абсолютной величиной, для комплексного числа норма совпадает с его модулем, а для линейного пространства геометрических векторов – с длиной вектора.

Теорема 15.1 (неравенство Коши–Буняковского). Для любых имеет место неравенство

.

Доказательство.

Для и вещественного числа элемент . Согласно аксиоме 4 из определения 15.1

Полученный квадратный трехчлен неотрицателен для любого тогда и только тогда, когда его дискриминант неположителен, то есть

.

Теорема доказана.

Задача на дом. Показать, чтонеравенство Коши–Буняковского превращается в равенство тогда и только тогда, когда элементы x и y линейно зависимы.

Следствие (неравенство треугольника). Для любых имеет место неравенство

.

Доказательство.

Из аксиом евклидова пространства и неравенства Коши–Буняковского имеем

,

откуда в силу неотрицательности чисел и получаем неравенство треугольника.

Следствие доказано.

Неравенства Коши–Буняковского и треугольника для евклидова пространства из примера 15.2 имеют вид:

а для евклидова пространства из примера 15.3 соответственно:

;

.

Определение 15.3 В евклидовом пространстве E величиной угла между ненулевыми элементами x и y назовем число , удовлетворяющее соотношению

.

Из неравенства Коши–Буняковского следует, что величина угла существует для любой пары ненулевых элементов в E.

Определение 15.3 В евклидовом пространстве E элементы x и y называются ортогональными, если

.

Откуда следует, что нулевой элемент евклидова пространства ортогонален любому другому элементу.