Производная сложной функции

Дана функция у = у(х). Допустим, что х, в свою очередь, является функцией другой переменной х = х(t). В этом случае говорят, что у есть СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ переменной t.

Такая связь записывается следующим образом:

у = у(х),

х = х(у).

Может также использоваться более компактная форма записи:

у = у(х(t)).

Для вычисления производной сложной функции опять воспользуемся связью (2) между производной и дифференциалом, одновременно домножив и разделив правую часть на dx:

у'_t = dy = dy · dx

dt dt dx.

Перегруппировав члены, окончательно получаем:

у'_t = dy · dx ≡ у'_x · x'_t. (7)

dх dt

- правило дифференцирования сложной функции. Это правило удобно представить в более подробном виде:

(у(х(t))) = у'_x · x'_t. (8)

Такая форма записи означает следующее.

При дифференцировании сложной функции надо «внешнюю» функцию продифференцировать по ее аргументу (который записывается в виде индекса). Полученный результат умножается на производную от этого аргумента, являющегося функцией своей переменной. Т.е. указанный аргумент, который только что был использован в качестве индекса, «поднимается вверх». Процедура перемножения производных повторяется до тех пор, пока не дойдем до окончательной независимой переменной. В частности, производная «трехэтажной» сложной функции есть:

d (z(y(x(t)))) = z'_y ·y'_x·x'_t. (9)

Примеры:

1) ()´ = · (x² – 2x)´ = = ;

2) ( = · ln 5 · (x³)´ = · ln 5 · 3x²;

3) (cos² (x³ + 2x))´ = 2 cos (x³ + 2x) · (cos (x³ + 2x))´ = 2 cos (x³ + 2x) ·

· (– sin (x³ + 2x)) · (x³ + 2x)´ = – 2 cos (x³ + 2x) · sin (x³ + 2x) · (3x² + 2) =

= – sin 2(x³ + 2x) · (3x² + 2);

4) (ln )´ = · ()´ =

= · · (sin (x³+4x))´ =

= · · cos (x³+4x) · (x³+4x)´ =

= · · cos (x³+4x) · (3x² + 4) =

= · cos (x³+4x) · (3x² + 4).

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте теорему о производной суммы (разности) двух функций.

2. Сформулируйте теорему о производной произведения двух функций.

3. Сформулируйте теорему о производной частного двух функций.

4. Какую функцию называют сложной?

5. Сформулируйте теорему о производной сложной функции.

6. Приведите формулу производной степенной функции.

7. Приведите формулу производной показательной функции.

8. Приведите формулу производной логарифмической функции.

9. Приведите формулы производной тригонометрических функций.

10. Что называется второй производной (производной второго порядка) данной функции.

11. Что называется n-ой производной (производной n-го порядка) данной функции.