Интегральное исчисление

7.4.1. Укажите условия, при выполнении которых функция F (x) является первообразной для функции f (x) на промежутке X:

Варианты ответа:

1) F (x) = f (x) для любого x Î X;

#2) F ¢(x) = f (x) для любого x Î X;

3) F (x) = f ¢(x) для любого x Î X;

4) F (x) – f (x) = С для любого x Î X, где С — некоторая константа;

5) F ¢(x) = f (x) для любого x Î X.

7.4.2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) на промежутке X называется:

Варианты ответа:

#1) неопределенным интегралом от функции f (x);

2) определенным интегралом от функции f (x);

3) несобственным интегралом от функции f (x);

4) подынтегральной функцией;

5) подынтегральным выражением.

7.4.3. Если F ₁(x) и F ₂(x)- первообразные функции f (x) на промежутке X, то

Варианты ответа:

1) F ₁(x) = С × F ₂(x), где С - некоторая константа;

2) F ₁(x) + F ₂(x) = С, где С - некоторая константа;

#3) F ₁(x) – F ₂(x) = С, где С - некоторая константа;

4) F ₁(x) = , где С - некоторая константа;

5) F ₁(x) = , где С - некоторая константа.

7.4.4. Пусть F (x) произвольная первообразная для функции f (x) на промежутке (–¥; +¥). Тогда:

Варианты ответа:

1) если f (x) - четная функция, то F (x) - нечетная функция;

2) если f (x) - нечетная функция, то F (x) - нечетная функция;

3) если f (x) - периодическая функция, то и F (x)- периодическая функция;

4) если f (x) - четная функция, то F (x) - четная функция;

#5) если f (x) - нечетная функция, то F (x) - четная функция.

7.4.5. Множество функций {arcsin x + C } задается неопределенным интегралом вида:

Варианты ответа:

1) ;

2) ;

#3) ;

4) ;

5) .

7.4.6. Из приведенных интегралов выберите ˝неберущиеся˝ интегралы:

Варианты ответа:

#1) ;

2) ;

3) .

4) ;

5) .

7.4.7. Укажите верные равенства:

Варианты ответа:

1) ;

2) ;

#3) ;

4) ;

5) .

7.4.8. Укажите верные равенства:

Варианты ответа:

1)

#2)

3)

4)

5)

7.4.9. Если функция f (x) имеет первообразную на промежутке X, то для произвольного k на этом промежутке верно:

Варианты ответа:

1)

2)

3) ;

#4)

5)

7.4.10. Укажите верные утверждения:

Варианты ответа:

1)

2)

#3) если F (x) является первообразной для функции v (x) × u ¢(x) на промежутке X, то v (x) × u (x) – F (x) является первообразной для функции v¢ (x) × u (x) на промежутке X;

4) если функция v (x) × u ¢(x) является первообразной для функции F (x) на промежутке X, то v (x) × u (x) – F (x) является первообразной для функции v¢ (x) × u (x) на промежутке X;

5)

7.4.11. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Варианты ответа:

1)

2)

3)

#4)

5)

7.4.12. Отметьте те интегралы, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям:

Варианты ответа:

1)

#2)

3)

4)

5)

7.4.13. Среди приведенных интегралов отметьте те, для которых при интегрировании по частям удобно выбрать u (x) = x:

Варианты ответа:

1)

2)

3)

4)

#5)

7.4.14. Укажите верные равенства (f (x) — произвольная, интегрируемая на отрезке [ a; b ] функция):

Варианты ответа:

1)

2)

#3)

4)

5)

7.4.15. Следующих условий достаточно, чтобы гарантировать интегрируемость функции f (x), определенной на отрезке [ a; b ]:

Варианты ответа:

1) монотонность f (x) на отрезке [ a; b ];

2) ограниченность f (x) на отрезке [ a; b ].

3) конечное число точек разрыва на отрезке [ a; b ];

#4) непрерывность f (x) на отрезке [ a; b ];

5) неограниченность f (x) на отрезке [ a; b ].

7.4.16. Пусть f (x) и g (x) — произвольные интегрируемые на отрезке [ a; b ] функции. Тогда:

Варианты ответа:

1) если f (x) £ g (x) для всех x Î [ a; b ], то ;

#2) .

3) если функция f ²(x) интегрируема на отрезке [ a; b ], то и f (x) интегрируема на этом отрезке;

4) если f (x) < g (x) для всех x Î [ a; b ], то ;

5) если функция ½ f (x)½ интегрируема на отрезке [ a; b ], то и функция f (x) интегрируема на этом отрезке;

7.4.17. Пусть f (x) интегрируема на отрезке [0; 1] причем для всех x Î [0; 1] выполняются неравенства 1 £ f (x) £ 4. Тогда:

Варианты ответа:

1)

#2)

3)

4)

5)

7.4.18. Пусть f (x) — произвольная интегрируемая на отрезке [ a; b ] функция. Тогда:

Варианты ответа:

1) если f (x) ≤ 0 на отрезке [ a; b ], то равен площади фигуры, ограниченной прямыми , , и графиком функции y = f (x);

2) если m и М — минимальное и максимальное значения функции на отрезке [ a; b ], то ;

3) если m - минимальное значение функции на отрезке [ a; b ], то ;

#4) если f (x) ³ 0 на отрезке [ a; b ], то равен площади фигуры, ограниченной прямыми , , и графиком функции y = f (x);

5) если М — максимальное значение функции на отрезке [ a; b ], то .

7.4.19. Пусть функция f (x) интегрируема на отрезке [ a; b ]. Интегралом с переменным верхним пределом называется:

Варианты ответа:

1) совокупность всех первообразных функции f (x) на отрезке ;

#2) функция , определенная для всех ;

3) число, равное ;

4) совокупность всех интегрируемых функции f (x) на отрезке ;

5) .

7.4.20. Если F (x) —первообразная для произвольной функции f (x), непрерывной на отрезке [ a; b ], то

Варианты ответа:

1) ;

#2) ;

3) ;

4) ;

5) .

7.4.21. Пусть произвольная функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], а функция j¢(t) непрерывна на отрезке [a; b] и . Тогда:

Варианты ответа:

#1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .