Первообразная функция

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Теперь рассмотрим задачи, приводящие к понятию первообразной для заданной функции.

Пример. Пусть скорость движения точки в момент времени t равна . Найдём выражение для координаты точки в момент времени t (точка движется по прямой)

Решение. Известно, что . Так как в нашем случае , то ответом к задаче могут быть функции: , ,

и т.д., так как во всех указанных случаях.

В общем виде ответ на поставленный вопрос записывается в виде , где С- произвольная постоянная. Из приведённого примера видно, что обратная задача имеет бесконечное множество решений.

Первообразная функция.

Определение 1. Пусть на некотором промежутке Х задана функция . Функция называется первообразной для на этом промежутке, если для всех

Термин «первообразная» был введён французским

математиком Ж.Л. Лагранжом (1736-1813).

Определение 2. Множество всех первообразных для функции на промежутке Х называется неопределённым интегралом для и обозначается .

Функцию называют подынтегральной функцией для , а произведение - подынтегральным выражением. Таким образом

.

Вычислить неопределенный интеграл – это значит найти множество всех первообразных для подынтегральной функции.

Определение 3. Пусть функция задана на отрезке и имеет на нем первообразную . Разность называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают . Итак,

.

Разность записывают в виде , тогда = .

Числа a и b называют пределами интегрирования.

Еще одно определение определённого интеграла

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Определённым интегралом от функции на этом отрезке называется число, равное площади криволинейной трапеции, то есть фигуры, заключённой между прямыми , причём площадь той части, которая лежит выше оси абсцисс берётся со знаком +, и ниже её – со знаком -. Интеграл обозначается так:

,

Date: 2015-09-02; view: 455; Нарушение авторских прав