Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Умножение матрицОпределение 14.4 Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле
где , . Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой -- второй. Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено. В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя. Правило вычисления элементов произведения можно сформулировать следующим образом. Для того, чтобы вычислить элемент произведения, стоящий в -ой строке и -ом столбце, нужно взять -ую строку первого сомножителя и -ый столбец второго сомножителя, попарно перемножить их элементы, стоящие на одинаковых местах, и результаты сложить. (Точно так же мы поступаем, когда находим скалярное произведение двух векторов по их координатам, см. формулу (14.2).) Пример 14.3 Даны матрицы , . Найдите произведения и . Решение. Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе равно 3, число строк во втором сомножителе тоже равно 3. Числа совпали, следовательно, произведение определено. Результатом умножения будет матрица , , у которой строк столько, сколько их в первом сомножителе, то есть 3, а столбцов столько, сколько их во втором сомножителе, то есть 2. Итак, матрица имеет размеры . Находим элемент . В его вычислении участвует первая строка первого сомножителя и первый столбец второго сомножителя : Находим элемент . В его вычислении участвует первая строка первого сомножителя и второй столбец второго сомножителя : Все элементы первой строки матрицы вычислены. Находим элемент . В его вычислении участвует вторая строка первого сомножителя и первый столбец второго сомножителя : Находим элемент . В его вычислении участвует вторая строка первого сомножителя и второй столбец второго сомножителя : Вычислены все элементы второй строки матрицы . Аналогично находим элементы третьей строки: Итак, . Рассмотрим произведение . Число столбцов в первом сомножителе равно 2, число строк во втором сомножителе равно 3. Числа не совпали, следовательно, произведение не определено. Ответ: , произведение не определено. Замечание 14.3 Легко проверить, что произведение квадратных матриц одного порядка всегда существует (определено). У читателя может возникнуть законный вопрос: "Зачем так сложно определять произведение матриц? Нельзя ли его определить попроще, например, как произведение элементов матриц-сомножителей, стоящих на одинаковых местах?" Ответ на этот вопрос мы увидим позже, когда будем рассматривать системы линейных уравнений, правило изменения координат векторов при изменении базиса и такие неизвестные пока читателю объекты как линейные преобразования и квадратичные формы. Тогда мы увидим, что введенное определение умножения матриц используется очень эффективно, что оно "похоже" на умножение чисел. Если же произведение матриц определить по-другому, то его не удается разумно использовать ни в математике, ни в прикладных науках. Рассмотрим, какими свойствами обладает операция умножения матриц. Прежде всего отметим, что умножение матриц -- некоммутативная операция. Это означает, что существуют такие матрицы и , что Для прямоугольных матриц мы убедились в этом в примере 14.3. В нем произведение существует, а произведение -- нет. Для квадратных матриц это видно из следующего примера. Пусть , . Тогда то есть . Предложение 14.4 Умножение матриц обладает следующими свойствами: -- ассоциативность умножения; , где -- число; , -- дистрибутивность умножения; , , где -- единичная матрица соответствующего порядка. Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл. Доказательство. На протяжении всего доказательства предполагается, что -- матрица размеров . Докажем свойство ассоциативности. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Произведение обозначим буквой . Тогда матрица имеет размеры . Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь размеры . Матрицу обозначим , матрицу обозначим , матрицу обозначим . Покажем, что элементы, стоящие в -ой строке и -ом столбце матриц и , равны друг другу, то есть что . По определению Подставив из второго равенства в первое, получим В силу предложения 14.1 В силу предложения 14.3
С другой стороны откуда Применим предложение 14.1 Сравнивая этот результат с (14.6), заключаем, что . Ассоциативность умножения доказана. Свойство 2 предоставляем читателю доказать самостоятельно. Докажем дистрибутивность умножения. Чтобы произведение было определено, матрицы и должны иметь размеры . Положим , , , , . Для доказательства равенства , нужно доказать, что , , . Так как , то По определению суммы матриц, . Следовательно,
С другой стороны, Тогда Сравнивая полученный результат с (14.7), получаем . Первое равенство в свойстве дистрибутивности доказано. Второе равенство доказывается аналогично. Докажем первое равенство в свойстве 4. Чтобы произведение было определено, матрица должна иметь порядок . Пусть . Тогда где -- символ Кронекера. Сумма справа имеет вид Таким образом , первое равенство в свойстве 4 доказано. Второе равенство доказывается аналогично.
Замечание 14.4 Из ассоциативности умножения матриц следует, что если произведение содержит три и более сомножителей, то его можно записывать без использования скобок. Например, или . Эта кажущаяся очевидной запись произведения верна не для всяких математических объектов. Действительно, в силу предложения 10.23, для векторного произведения векторов запись неприемлема, так как результат вычисления этого произведения зависит от расстановки скобок. Замечание 14.5 Свойство дистрибутивности позволяет раскрывать скобки в матричных выражениях. Но нужно обратить внимание, что, раскрывая скобки, нельзя менять порядок сомножителей. Замечание 14.6 Свойство 4 объясняет происхождение названия "единичная" матрица. В умножении матриц единичная матрица ведет себя так же, как число 1 при умножении чисел.
|