Примеры линейных операторов

Линейный оператор и его матрица.

Определение линейного оператора.

Определение 1. Отображение A из пространства в пространство называется линейным отображением, или линейным оператором, если для любых векторов из и любой константы выполняются равенства:

1°

2°

Эти два равенства эквивалентны одному:

3)

Заметим, что линейный оператор всегда отображает нулевой вектор в нулевой вектор. По свойству линейности, .

Там, где это не сможет привести к недоразумениям, вместо А (х) мы будем писать Ах.

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

1. Тождественный оператор – оператор, который отображает пространство в себя и каждому x Î ставит в соответствие его самого называется тождественным оператором и обозначается E: Ex = x " x Î .

2. Оператор, который каждому x Î ставит в соответствие нуль-вектор 0 из , называется нулевым оператором.

3. Оператор P_x проектирования на ось x ставит в соответствие любому вектору на плоскости a его геометрическую проекцию a _x на ось x.

4. Оператор поворота W_j на угол j вектору на плоскости a ставит в соответствие вектор, который получается из a поворотом в положительном направлении (против часовой стрелки) на угол j. Условия 1° и 2° проверяются без труда. Проверим, например, условие 1°. означает, что векторы и х₂ сначала склады­ваются, а затем полученный вектор поворачивается. означает, что векторы х₁ и х₂ сперва повора­чиваются, а затем складываются. Ясно, что в обоих слу­чаях результат один и тот же.

5. Оператор S покоординатного сдвига в R ₃ ставит в соответствие вектору a Î R ₃ вектор Sa Î R ₃ по следующему правилу: т. е. i-я координата получает значение (i - 1)-й координаты, а первая координата заменяется нулем.

6. Рассмотрим произвольную -матрицу А.

А =

Совокупность равенств

Или в компактной форме записи определяет линейный оператор, действующий из в . В самом деле, и . Как мы вскоре увидим, этот пример является в определенном смысле универ­сальным.

1.3.Связь между координатами образа и прообраза при линейном отображении.Матрица линейного оператора.

Пусть A линейный оператор действующий из пространства в пространство .Зафиксируем в каждом из пространств базисы: -базис в , -базис в .Возьмем произвольный вектор x из и разложим его по базису: или в компактной форме записи с использованием знака суммы .Подействуем на него оператором A, получим Ax=y. Разложим y по базису y= или

C другой стороны в силу линейности оператора A

y=Ax=A()=

Каждый из векторов разложим по базису пространства , получим

Подставляя все это в разложение y, будем иметь

Сравнивая левую и правую части, в силу единственности разложения по базису, получим

i=1,2,…m (1) или подробнее

, (1)

Формулы(1) устанавливают связь между координатами образа у и координатами прообраза х при линейном отображении A. Матрицу коэффициентов в формулах (1)

А =

назовем матрицей линейного оператора A в выбранных базисах f,g. Из формул(1) следует, что матрица линейного оператора действующего из пространства в пространство имеет размерность

mхn и в фиксированных базисах f,g строится следующим образом: в k-том k=1,2, …n столбце матрицы А находятся координаты вектора в базисе .

Замечание. Мы установили, что при выбранных базисах и каждому линейному оператору соответствует -матрица, столбцами которой являются координаты векторов . Ранее (см. пример 6) было установлено, что каждой матрице

соответствует линейный оператор, определяемый формулой (1). Таким образом, при выбранных базисах и соответствие между линейными операторами и -матрицами является взаимно

однозначным.

Примеры.

1.Матрица тождественного оператора.

Возьмем в два одинаковых произвольных базиса. Тождественный оператор действует по правилу Следовательно, мы получим квадратную матрицу размера nxn, все элементы которой кроме диагональных равны нулю, а диагональные элементы равны 1.Эту матрицу принято называть единичной.

2.Матрица нулевого оператора.

Зафиксируем в каждом из пространств базисы: -базис в , -базис в .Так как нулевой оператор Q действует по правилу

,

то мы получим прямоугольную матрицу размера mxn, все элементы которой равны нулю

3. Матрица оператора P_x проектирования на ось x.

т.е. элементы первого столбца А;в остальных столбцах А будут те же элементы что и в матрице А.Таким образом: при перестановке местами базисных векторов соответствующие столбцы исходной матрицы меняются местами.

2. Пусть А -матрица оператора А в базисах задачи2;в первом столбце ее будут стоять координаты вектора A( в базисе

.,но A( = A(.Таким образом: при умножении базисного вектора на все коэффициенты соответствующего столбца матрицы оператора А умножаются на .

3. Пусть А -матрица оператора А в базисах задачи3;в первом столбце ее будут стоять координаты вектора A( в базисе .,но A( =А ( Таким образом: при прибавлении к базисному вектору другого базисного вектора, умноженного на приводит к прибавлению к соответствующему столбцу другого столбца матрицы, умноженного на число .

Общий вывод задачи: при переходе от одного базиса к другому элементарному преобразованию базисных векторов соответствует аналогичное элементарное преобразование над столбцами матрицы оператора в новом базисе.

7.Исследовать, что происходит с матрицей оператора А при совершении элементарных преобразований

с базисом в .