Общие сведения. Обозначение суммы. Для любых двух целых чисел (положительных, отрицательных или равных нулю) n и m ≥ n

Работа с ПРОГРЕССИЯМИ И РЯДАМИ

Общие сведения

Обозначение суммы. Для любых двух целых чисел (положительных, отрицательных или равных нулю) n и m ≥ n

(m – n + 1 слагаемых)

Обозначение произведения. Для любых двух целых чисел (положительных, отрицательных или равных нулю) n и m ≥ n

(m – n + 1 множителей)

Факториалы. Факториал n! произвольного целого числа n ≥ 0 определяется формулами:

0! = 1, (n ≥ 0)

С ростом n значение факториала растет очень быстро!

Арифметическая прогрессия. Если a₀ – первый член, d – постоянная разность между следующим и предыдущим членами, называемая разностью прогрессии, то

a_j = jd (j = 0, 1. 2, …).

Геометрическая прогрессия. Если a₀ – первый член, а r ≠ 1 – постоянное отношение следующего члена к предыдущему члену, называемое знаменателем прогрессии, то

a_j = a₀r^j (j = 0, 1. 2, …).

Ряды. Арифметическая прогрессия – частный случай ряда. Ряд чисел это

Для бесконечных рядов m = ∞, но на машине возможен лишь расчет суммы ограниченного количества членов ряда, поэтому прямой численный расчет многих из бесконечных рядов лает ошибочный результат. Иногда для ряда известна формула расчета значения следующего члена ряда из значения предыдущего члена ряда.

Для вычисления значений математических функций в программах используются разложения этих функций в ряды Тейлора и Мак-Лорена. Например:

Иногда для расчета значений функций используют приближения функций. При использовании приближений функций большая точность достигается при меньшем количестве членов. Приближения получают подбором коэффициентов. Так для расчета функции cos x на интервале 0 ≤ x ≤ π/2 с точностью 10^-3 можно воспользоваться формулой; cos x = 1 – 0,496070 x ² + 0,03705 x ⁴. Используя данную формулу, можно реализовать алгоритмы расчета функций, как sin x, так и cos x для любых x.

В программах значения членов ряда можно табулировать в массивы, но в ряде алгоритмов можно обойтись вообще без массивов.