Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство. Рассмотрим сначала вписанный угол ABC, сторона BC которого является диаметром окружности, и центральный угол AOC (рис. 5).

Рис. 5

Так как отрезки AO и BO являются радиусами окружности, то треугольник AOB – равнобедренный, и угол ABO равен углу OAB. Поскольку угол AOC является внешним углом треугольника AOB, то справедливы равенства

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Рис. 6

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Рис. 7

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2. Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 8.

Рис. 8

Нас интересует величина угла AED, образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD. Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED, а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3. Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 9.

Рис. 9

Нас интересует величина угла BED, образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD. Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE, а углы ADC, DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4. Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 10.

Рис. 10

Нас интересует величина угла BAC, образованного касательной AB и хордой AC. Поскольку AD –диаметр, проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5. Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.

Рис. 11

Нас интересует величина угла BED, образованного касательной AB и секущей CD. Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE, а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB, в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6. Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 12.

Рис. 12

Нас интересует величина угла BED, образованного касательными AB и CD. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

α = π – γ.

Далее получаем

что и требовалось доказать.