Пример кинематического анализа рычажного механизма

Кривошип О₁А вращается с постоянной угловой скоростью . Определить для заданного положения механизма:

1. Скорости точек А, В, D … механизма и угловые скорости всех его звеньев с помощью плана скоростей.

2. Скорости этих же точек и угловые скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей.

3. Ускорения точек А и В, средней точки звена АВ и угловое ускорение звена при помощи плана ускорений звена АВ.

4. Ускорения этих же точек при помощи аналитического метода определения ускорений.

Построение плана механизма

На основании данных, представленных в табл.1, строим план механизма.

Таблица 1. Исходные данные

1. Выбираем масштаб длин. Пусть длина кривошипа (звена О₁А) будет равна на плане 22 мм. Тогда масштабный коэффициент .

2. Изображаем кривошип под углом 60^° к горизонтали. Отмечаем точку А (рис. 21).

3. Проводим дугу окружности с центром в точке А радиусом АВ.

4. Определяем положение горизонтальной направляющей ползуна G, находящейся на расстоянии b от шарнирной опоры О ₁.

5. Определяем положение шарнирной опоры О₂, находящейся на расстоянии с от горизонтальной направляющей ползуна G и расстоянии а от опоры О₁

6. Определяем положение наклонной направляющей ползуна В. Для этого проводим дугу окружности радиусом d и строим прямую, составляющую 30^° с вертикалью и проходящую через точку О₂ таким образом, чтобы она являлась касательной к этой окружности.

Рис. 21. План плоского многозвенного рычажного механизма

7. Находим положение ползуна на наклонной направляющей в данный момент времени (точка В). Это есть точка пересечения окружности радиуса АВ и направляющей.

8. Точка D делит звено АВ пополам.

9. Определяем положение точки Е. Для этого проводим дугу окружности радиусом DE. Затем из точки О₂ проводим дугу окружности радиусом О₂Е. Точка пересечения двух окружностей и даст положение точки Е в данный момент времени.

10. Откладываем от отрезка О₂Е угол 60^° в направлении движения по часовой стрелке. Затем на полученной прямой – отрезок О₂С.

11. Положение точки G в данный момент времени определится пересечением окружности радиуса СG и горизонтальной направляющей ползуна G.

Построение плана скоростей

Отметим, что определяемые кинематические величины носят мгновенный характер, т.е. меняются с течением времени в одних случаях по направлению, в других – по величине, в третьих – и по величине и по направлению.

1. Определяем скорость точки А кривошипа О₁А. Поскольку кривошип движется вращательно, то модуль определяется так:

(см/c),

Выбираем полюс плана скоростей Р_V. Вектор скорости точки А направлен в сторону вращения кривошипа (рис. 22).

Исходя из удобства построения чертежа и его размеров, выбираем масштаб плана скоростей. Пусть длина вектора скорости точки А будет равна 44 мм. Тогда масштабный коэффициент . Из полюса плана скоростей под углом 90^° к направлению кривошипа проводим вектор .

2. Определяем скорость точки В – . Для этого необходимо записать систему векторных уравнений для скорости точки В, используя свойства плоскопараллельного движения тела и сложного движения точки:

Здесь – абсолютная скорость точки В; – скорость точки В в относительном вращении вокруг полюса А; – скорость точки В относительно В^/. Точка В^/ находится на направляющей ползуна (под ползуном), а точка В – непосредственно на ползуне. Поскольку В^/ принадлежит неподвижной направляющей, то ее скорость равна 0. Тогда система уравнений приобретает следующий вид:

Далее из конца вектора проводим прямую, перпендикулярную звену АВ, на которой будет лежать вектор скорости относительного вращения звена АВ вокруг полюса А – . И из полюса плана скоростей проводим прямую, параллельную направляющей ползуна В, на которой будет лежать вектор скорости точки В – . Абсолютная скорость ползуна равна в данном случае его относительной скорости по отношению к направляющей, что отражено в уравнении. Точка пересечения построенных прямых – точка В. Направление векторов определяем в соответствии с правилами векторного суммирования согласно системе уравнений. Из плана скоростей определяем длины векторов = P_vb =23,5 мм и = ab=50мм.

Умножая эти значения на масштабный коэффициент плана скоростей, определяем величины абсолютной и относительной скоростей точки В

=23,5 см/с и =50 см/с.

3.Определяем скорость точки D. Она принадлежит звену АВ, поэтому её скорость определяется из пропорционального отношения отрезков на плане скоростей и отрезков на плане механизма:

ad/АD = ab/AB.

Отсюда ad = 25 мм. Длина полученного отрезка – это длина вектора относительной скорости . Конец вектора находится в точке d. Соединяя полученную точку с полюсом P_v, получаем вектор абсолютной скорости точки D. Находим длину вектора : = P_Vd = 25 мм. Умножая длины полученных отрезков на масштабный коэффициент плана скоростей, находим величины абсолютной и относительной скоростей точки D:

= 25 см/c.

4. Запишем систему векторных уравнений для скорости точки Е:

Во втором уравнении системы абсолютная скорость точки Е равна относительной вращательной скорости точки Е вокруг полюса О₂. Но точка О₂ неподвижна (жёсткое звено ЕО₂С совершает вращательное движение относительно оси, проходящей через точку О₂), поэтому абсолютная скорость равна относительной.

По аналогии со скоростью точки В из конца вектора проводим перпендикуляр к направлению звена ED. Затем из полюса плана скоростей P_V строим прямую, перпендикулярную отрезку ЕО₂, и находим точку пересечения полученных прямых. Это будет точка е. Расставляем векторы в соответствии с правилами векторного суммирования. Из плана определяем длины векторов:

= P_Ve =20 мм и = ed=12,5мм.

Умножая эти значения на масштабный коэффициент плана скоростей, определяем величины скоростей:

=20 см/с и =12,5 см/с.

5. Поскольку звено ЕО₂С жёсткое, то точки Е и С движутся относительно опоры О₂ во вращении отрезков ЕО₂ и СО₂ с одинаковой угловой скоростью _, поэтому модуль скорости точки С найдём из пропорции

.

Отсюда см/c.

Направление вектора скорости точки С найдём, отложив на плане скоростей прямую под углом 60^° к направлению вектора по ходу часовой стрелки (так, чтобы на плане образовалась фигура, подобная жёсткому звену ЕО₂С) и разделив значение скорости точки С на масштабный коэффициент плана скоростей. Получив длину отрезка P_Vс, отложим этот отрезок на данной прямой.

6. Скорость точки G определяем из системы векторных уравнений:

Из точки с на плане скоростей проводим перпендикуляр к направлению звена CG, а из полюса – горизонталь (параллель GG^/). Точка пересечения этих двух прямых даст точку G. Отмечаем вектора и находим их длины:

= P_Vg =29 мм и =gc =13 мм.

Умножая на масштабный коэффициент полученные отрезки, получаем относительную и абсолютную скорости точки G:

=29 см/с и =13 см/с.

Определение мгновенных угловых скоростей звеньев механизма с помощью плана скоростей

Модули угловых скоростей звеньев будем определять как отношения скоростей относительного вращательного движения к длинам соответствующих звеньев.

1. Угловая скорость звена АВ:

с^-1 .

2. Угловая скорость звена ED:

с^-1.

3. Угловая скорость звена ЕО₂С:

с^-1.

4. Угловая скорость звена СG:

с^-1.

Направления вращения звеньев в данный момент времени указываем, исходя из направления векторов относительных скоростей на плане скоростей.

Построение плана ускорений для звена АВ механизма

и определение его углового ускорения при помощи плана ускорений

Построение плана ускорений, так же как и плана скоростей, начинаем с определения ускорения той точки, которая принадлежит входному звену механизма. Это точка А. Данная точка участвует во вращательном движении кривошипа О₁А относительно опоры О₁, причём вращение кривошипа равномерное. Поэтому абсолютное ускорение точки А будет равно одной только нормальной составляющей ускорения и его модуль определится как

см/c².

Ускорение точки А направлено по радиусу описываемой точкой А окружности в процессе движения к её центру (рис. 23).

Выбираем масштабный коэффициент плана ускорений : .

Выбираем положение полюса плана ускорений Р_{а .} Из полюса параллельно направлению кривошипа О₁А от точки А к точке О₁ проводим вектор Р_а а длиной 44 мм. Отмечаем точку а.

Найдём ускорение точки В. Для этого составляем систему векторных уравнений для ускорения точки В:

Запишем систему уравнений, выразив полные относительные ускорения через их нормальные и касательные составляющие:

Здесь – абсолютное ускорение точки В; и – нормальная и касательная составляющие ускорения точки В в относительном вращательном движении вокруг полюса А; и – нормальная и касательная составляющие ускорения точки А.

Поскольку звено О₁А вращается с постоянной угловой скоростью (о чём уже упоминалось), касательная составляющая ускорения будет равна 0. Ускорения и равны 0, поскольку В ^/ принадлежит неподвижной направляющей ВВ^/. Нормальная составляющая ускорения точки В ползуна относительно В ^/ также равна 0, поскольку ползун совершает возвратно-поступательное движение. С учетом этих факторов система уравнений приобретает следующий вид:

Величина нормального ускорения в относительном вращательном движении звена АВ вокруг точки А будет равна

см/с².

Длина вектора на плане ускорений определится как отношение величины этого нормального ускорения к масштабному коэффициенту плана ускорений:

мм.

Из точки а проводим прямую, параллельную направлению звена АВ и на ней откладываем вектор таким образом, чтобы он был направлен от точки В к точке А (центру относительного вращения). Получаем точку n₁. Касательное ускорение в относительном вращательном движении звена АВ неизвестно ни по величине, ни по направлению, но лежит на перпендикуляре к нормальному ускорению (направлению шатуна АВ). Поэтому из точки n₁ проводим перпендикуляр к звену АВ. Из полюса плана ускорений проводим параллель направляющей ползуна В, поскольку абсолютное ускорение точки В равно касательной составляющей относительного возвратно-поступательного движения ползуна вдоль направляющей. Точка пересечения двух перпендикуляров и даст искомую точку b плана ускорений.

В данном примере направления кривошипа и направляющей ползуна В совпадают, поэтому вектор ускорения точки А и вектор полного ускорения ползуна лежат на одной прямой. Расставляем векторы в соответствии с правилами векторного суммирования и согласно векторным уравнениям для ускорения точки В.

Определяем длины отрезков Р_аb и n₁ b, соответствующие полному ускорению точки В и его касательной составляющей в относительном вращении:

мм; мм.

Значения соответствующих модулей ускорений:

; .

Модуль полного ускорение точки В в относительном вращательном движении вокруг полюса А:

.

Находим ускорение точки, делящей звено АВ пополам. В данном случае, это точка D. Точка d будет лежать на плане ускорений между точками а и b и делить отрезок аb пополам (аналогично скоростям). Касательная, нормальная составляющая и полное ускорение точки D в относительном вращении вокруг полюса А будут составлять половину соответствующих ускорений точки В:

; ; .

Модуль полного ускорения точки D определится как произведение длины отрезка Р_аd на масштабный коэффициент плана ускорений μ_а:

.

В данном примере длина векторы ускорения точки D равна скалярной разности длин векторов ускорения точки А и относительного ускорения , поскольку все эти векторы лежат на одной прямой.

Определим модуль мгновенного углового ускорения звена АВ как отношение касательного ускорения в относительном вращательном движении к длине звена АВ:

.

Направление углового ускорения определится вектором относительного касательного ускорения . Из плана ускорений видно, что вращение шатуна АВ в данный момент времени – замедленное.

Date: 2015-08-15; view: 693; Нарушение авторских прав