Операторный метод описания звеньев САУ

Раздел II. Линейные непрерывные системы автоматического управления

Тема 2.1. Математическое описание линейных звеньев

Введение о математических моделях динамических систем, принцип суперпозиций

Лекция 3: Передаточные функции звеньев САУ

Понятие структурной схемы системы

При исследовании или проектировании САУ требуется иметь ее математическое описание или описание ее звеньев (элементов). Обычно описание системы начинается с ее звеньев.

Это осуществляется:

1) аналитически → (в виде уравнений)

2) графически → (в виде временных и частных характеристик)

По уравнениям или характеристикам отдельных звеньев составляются уравнения или характеристики систем в целом, на основе которых и исследуются системы и ведутся расчеты.

Ранее при рассмотрении принципа действия САУ было ведено понятие функциональной схемы (блок-схемы). В этой схеме система разбита на звенья, исходя из выполняемых ими функций, т.е. их назначения (регулятор, двигатель, датчик и т.п.).

Для получения математической модели систему разбивают на звенья по другому принципу, а именно – исходя из удобства получения математического описания. При этом систему разбивают на возможно более простые ("мелкие") звенья, но которые должны обладать свойством – направленностью действия.

Звеном направленного действия называется звено, передающее воздействие только в одном направлении – со входа на выход, т.е. изменение выхода не влияет на вход этого же звена.

Это дает возможность описывать звено без взаимодействия с другими звеньями. На практике это условие принимается даже при небольшом влиянии выхода на вход.

На основе таких звеньев можно получить математическую модель всей системы в целом.

Классической моделью САУ является структурная схема системы, которая состоит из звеньев однонаправленного действия. Если каждому звену придать математическое описание, то структурная схема получает статус математической модели, которая полностью описывает все характеристики (свойства) системы.

Внешне структурная схема состоит из прямоугольников, соединенных стрелками, указывающими направление передачи сигнала (воздействия).

Например, для системы стабилизации температуры жидкости можно построить следующую структурную схему

В этой схеме символом W_i(s) обозначены так называемые передаточные функции. В классической ТАУ это основная модель линейного звена. Хотя могут быть и дифференциальные уравнения.

Они получаются обычно специалистами в соответствии технической области (электромеханик, энергетик, электроник и т.п.), знающих основы автоматизации.

Сначала получают дифференциальные уравнения, а затем из них передаточные функции.

Операторный метод описания звеньев САУ

Основным (классическим) способом описания звеньев являются передаточные функции. Они легко получаются из дифференциальных уравнений звеньев следующим образом.

Пусть

описывает звено

Тогда, используя преобразование Лапласа или Карсона к обеим частям уравнения, получим (при нулевых начальных условиях), учитывая что

– это и есть переходная функция

Более строго: Переходная функция – это отношение изображений по Лапласу (Карсону) выходной координаты ко входной при нулевых начальных условиях.

Достоинство: Над переходной функцией можно осуществлять алгебраические операции.

Примечание: По Лапласу - комплексная переменная