Скорость и изменение

Исчисление (calculus) – это латинское название счета, которое связано со словом для обозначения камешков, вероятно потому, что все мы учились считать, откладывая маленькие камешки. Исчисление бесконечно малых представляет собой область математики, которую первоначально разрабатывали Лейбниц, Ньютон и другие в 1600-х гг. для того, чтобы описывать изменения лучше, чем была способна делать обычная математика того времени. Обычные процедуры счета не слишком хорошо справлялись со скоростью и ускорением. Арифметика может иметь дело с шагами, которые нужны, чтобы попасть из одного места в другое, но не с плавным движением, которое происходит между промежуточными точками.

Для разработки и понимания представлений, лежащих в основе дифференциального исчисления, математике потребовалось время примерно от 1660 до 1830 гг. В нашем совместном путешествии мы, вместо того чтобы изучать историческое развитие дифференциального исчисления для понимания его основ, будем заново разрабатывать его сами.

Давайте на время обратимся к эмпирике. Подумайте о движении и скорости. Скорость – это мера ОР для обозначения того, как быстро вы можете проходить определенное расстояние. Если я иду со скоростью 3 километра в час, то буду способен проходить за 1 час 3 километра.

С одной точки зрения, это просто. В то же время это не просто, поскольку скорость 3 км/час говорит только то, что за 1 час я могу пройти 3 километра. Скорость описывает только начало и конец общего пути длиной 3 километра! Скорость 3 км/час ничего не говорит о том, что я делал на протяжении этого расстояния в 3 километра. Я мог двигаться быстрее или медленнее, чем 3 км/час. Скорость говорит только о том, что если бы я двигался с постоянной скоростью 3 км/час, то мне потребовался бы 1 час, чтобы пройти 3 километра. В промежутке могло бы происходить много разных вещей. Я мог бы останавливаться, чтобы отдохнуть, и все равно двигался бы со средней скоростью 3 км/час, если бы после отдыха шел быстрее.

Чтобы продемонстрировать своим слушателям разницу между средней скоростью движения между двумя точками и мгновенной скоростью в данной точке, я обычно совершаю небольшую прогулку по аудитории, при этом говоря слушателям следующее: «Наблюдайте, как я двигаюсь по этой комнате. Здесь довольно тесно, но давайте считать, что я иду от стены рядом с доской, где я сейчас стою, до середины комнаты. Считайте мои шаги. Сколько шагов я, по-вашему, сделал?»

Один слушатель говорит что-нибудь вроде: «Вы прошли до центра двенадцать шагов». Тогда я спрашиваю: «Насколько быстро я шел?» Он говорит: «Не слишком быстро… Примерно три километра в час».

Обычно кто-нибудь спрашивает, какое отношение все это имеет к психологии и физике или шаманизму, и мне приходится просить слушателей потерпеть, пока мы некоторое время остаемся в общепринятой реальности.

Я спрашиваю слушателей, откуда им известно, что я шел со скоростью примерно 3 км/час? Ведь я не прошел 3 километра и не шел в течение целого часа! «Как вы можете говорить, что мне потребовался бы 1 час, чтобы пройти 3 километра, просто наблюдая, как я прохожу несколько метров за несколько секунд?» Слушатели дают правильный ответ – они угадывают скорость путем экстраполяции, усреднения моего движения.

Слово «усреднение» означает, что я проходил те несколько метров со средней скоростью 3 км/час. Потом я прошу слушателей снова понаблюдать, как я иду до середины комнаты и обратно, но на этот раз не в одном и том же темпе. Вместо этого, я останавливаюсь на полпути, чешу нос, а затем иду до середины комнаты и обратно более быстрым шагом.

Затем я говорю слушателям, что, хотя в среднем я по-прежнему делал 3 км/час, эти «3 км/час» представляют собой недостаточное описание того, что происходило на самом деле. Это неточное описание моей скорости. Как-никак, я останавливался на полпути, чтобы почесать нос. Средние значения упускают все интересные подробности путешествия.