Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (Ù, Ú,), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает Ù и Ú. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (Ù, Ú,), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.

Что нужно знать:

· условные обозначения логических операций

A, не A (отрицание, инверсия)

A Ù B, A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A Ú B, A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B импликация (следование)

· таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)

· операцию «импликация» можно выразить через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = A Ú B или в других обозначениях A → B =

· если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»

· иногда полезны формулы де Моргана[1]:

(A Ù B) = A Ú B

(A Ú B) = A Ù B

Пример задания:

Р-16. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наибольшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, А) ® (ДЕЛ(x, 6) ® ДЕЛ(x, 4))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Решение:

1) введём обозначения A = ДЕЛ(x, А), P = ДЕЛ(x, 6 ) и Q = ДЕЛ(x, 4)

2) введём множества:

A –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие A

P –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие P

Q –множество натуральных чисел, для которых выполняется условие Q

3) истинным для всех X должно быть выражение

4) упростим это выражение, раскрыв импликацию по правилу :

5) из этой формулы видно, что множество A должно перекрыть множество, которое не перекрыто множеством

6) поэтому

7) множество – это множество всех чисел, которые делятся одновременно на 4 и 6, то есть делятся на наименьшее общее кратное чисел 4 и 6, равное 12; поэтому А = 12

8) Ответ: 12.

Ещё пример задания:

Р-15. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5; 30] и Q = [14;23]. Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

1) Для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

3) раскрываем импликацию по формуле :

4) поскольку это выражение должно быть равно 1, то должно быть истинным (и, следовательно, – ложным!) везде, где ложно ;

5) таким образом, может быть истинным только там, где истинно

6) выражение истинно на двух отрезках, которые входят в и не входят в , на рисунке они обозначены жёлтым цветом:

7) значение может быть истинным только внутри отрезков, выделенных желтым цветом; но поскольку – это отрезок, его наибольшая длина – это длина наибольшего из «жёлтых» отрезков, то есть, 14 – 5 = 9 (длина второго отрезка равна 30 – 23 = 7).

8) Ответ: 9.

Ещё пример задания:

Р-14. Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x Î {4, 8, 12, 116}) Ù (x Î A)) → (x Î {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Решение:

9) Заметим, что в задаче, кроме множества A, используются еще два множества:

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116}

10) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q

11) перейдем к более простым обозначениям

12) раскрываем обе импликации по формуле :

13) теперь используем закон де Моргана :

14) поскольку это выражение должно быть равно 1, то A должно быть истинным везде, где ложно

15) тогда минимальное допустимое множество A – это (по закону де Моргана)

16) переходим ко множествам

= {4, 8, 12, 116}

= {2, 4, 6, 8, 10, 12}

17) тогда – это все натуральные числа, которые входят одновременно в и ; они выделены жёлтым цветом: {4, 8, 12}

18) именно эти числа и должны быть «перекрыть» множеством А _min, поэтому минимальный состав множества A – это А _min = {4, 8, 12}, сумма этих чисел равна 24

19) Ответ: 24.

Пример задания:

Р-13. На числовой прямой даны два отрезка: P = [37; 60] и Q = [40; 77]. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям

3) раскрываем обе импликации по формуле :

4) теперь используем закон де Моргана :

5) в таком виде выражение уже смотрится совсем не страшно; Сразу видно, что отрезок должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область :

6) по рисунку видно, что не перекрыт только отрезок [40;60] (он выделен жёлтым цветом), его длина – 20, это и есть правильный ответ.

7) Ответ: 20.

Ещё пример задания:

Р-12. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,39] и Q = [23, 58]. Выберите из предложенных вариантов такой отрезок A, что логическое выражение

((x Î P) Ù (x Î A)) → ((x Î Q) Ù (x Î A))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20] 2) [15, 35] 3) [25, 45] 4) [5, 65]

Решение:

1) для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A: x Î А, P: x Î P, Q: x Î Q

2) перейдем к более простым обозначениям