Измерение углового ускорения e. Вращательное движение маятника связано с поступательным движением груза

На маятник действуют три силы. Первая из них – сила натяжения нити T ₁, которая стремится раскрутить барабан по часовой стрелке и, следовательно, создаёт момент M ₁, направленный по оси вращения в сторону от наблюдателя. Этот момент показан крестиком на рисунке 3.1. Вторая сила – сила трения в подшипниках барабана. Эта сила препятствует вращению маятника, следовательно, её момент M _т направлен против момента M ₁. На рисунке 3.1 направление момента силы M _т показано точкой. Третья сила – сила сопротивления воздуха, действующая на вращающиеся стержни. Эту силу, однако, можно не учитывать по следующим соображениям. Сила сопротивления воздуха зависит от скорости вращения маятника. Так как маятник из начального состояния покоя разгоняется, то его скорость вращения увеличивается, в результате чего увеличивается сила сопротивления воздуха и её момент M _c. Но, тогда из основного закона вращательного движения (3.2) следует, что должно изменяться и угловое ускорение маятника e. Однако, выше указывалось, что груз движется равноускоренно, так что и, согласно формуле (3.5), . Объяснение этому таково: маятник за время падения груза на лабораторный стол не успевает набрать такой скорости вращения, при которой сила сопротивления воздуха начинает оказывать на его движение заметное влияние и изменять угловое ускорение. Вот и выходит, что этой силой можно пренебречь. Итак,

, (3.8)

Перейдём от векторов к числам. Для этого запишем уравнение (3.8) в проекциях на ось, направленную по оси вращения, причём в сторону от наблюдателя.

, (3.9)

Как измерить значение момента силы трения M _т, пока не ясно. Момент силы натяжения M ₁ узнать можно. По определению он равен произведению силы натяжения T ₁ на её плечо, равное радиусу барабана R.

. (3.10)

Силу натяжения T ₁ можно определить, исходя их того, что она равна силе T ₂, которая действует со стороны той же нити на груз. А для нахождения силы T ₂ надо рассмотреть движение груза. Это движение подчиняется основному закону динамики поступательного движения, то есть второму закону Ньютона, согласно которому силы, действующие на груз, придают ему ускорение a.

, (3.11)

где F – сумма действующих сил, m – масса груза. На груз действуют три силы, показанные на рисунке 2.1. Первая из них – сила тяжести , направленная вертикально вниз. Вторая – сила натяжения нити T ₂, направленная вертикально вверх. Третья сила – сила сопротивления воздуха, направленная против скорости движения, то есть тоже вертикально вверх. Эту силу можно не учитывать по тем же соображениям, по которым не учитывается сила сопротивления воздуха, действующая на вращающиеся стержни маятника. Итак,

+ . (3.12)

Для перехода от векторов к числам запишем уравнение (3.12) в проекциях на вертикальную ось, направленную вниз. При этом учтём, что груз движется и разгоняется вниз, так что его ускорение тоже направлено вниз.

. (3.13)

Как измерить ускорение груза, указано выше, поэтому формула (3.13) задаёт способ измерения силы натяжения нити T ₂ и равной ей силы T ₁:

. (3.14)

Подстановка (3.14) в (3.10) даёт:

. (3.15)

Несмотря на то, что момент силы трения M _т неизвестен, измерение углового ускорения и момента силы натяжения нити M ₁ уже даёт информацию, позволяющую экспериментально убедиться в том, как моменты вешних сил влияют на угловое ускорение маятника. В самом деле, подставив (3.9) в (3.2), получим:

, (3.16)

Согласно этой формуле, угловое ускорение маятника e линейно зависит от момента силы натяжения M ₁. И этот факт можно проверить экспериментально, так как и e, и M ₁ можно измерять. Линейность зависимости e от M ₁ означает, что на графике эта зависимость выглядит в виде прямой линии. Следовательно, надо провести серию экспериментов с маятником Обербека при различных значениях момента силы натяжения нити M ₁. Изменять значение M ₁ можно, изменяя массу груза m. Затем на основании измеренных значений M ₁ и e надо построить график зависимости e от M ₁. Если экспериментальные точки на графике выстроятся вдоль прямой линии, то это будет подтверждением формулы (3.16), а, следовательно, и подтверждением основного закона динамики вращательного движения (3.2).

Если через экспериментальные точки (точнее, через их планки погрешностей) удастся провести прямую линию, то это не только подтвердит основной закон динамики вращательного движения, но и позволит получить дополнительную информацию. Во-первых, из (3.16) следует, что e = 0 при . Это значит, что экспериментальная прямая на графике должна пересечь ось абсцисс (вдоль этой оси откладываются значения M ₁) в точке , так что точка пересечения даёт значение момента силы трения в подшипнике барабана M _т. Во-вторых, согласно (3.16) угловой коэффициент k линейной зависимости равен

. (3.17)

Поэтому, если измерить угловой коэффициент, то из (3.17) следует:

. (3.18)

Как измерить угловой коэффициент линейной зависимости, можно прочитать в [7.4].