В 19-ти случаях из 20-ти решение однородного уравнения записывают в виде общего интеграла

Ответ: общий интеграл:

Почему почти всегда ответ однородного уравнения дается в виде общего интеграла? В большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего общее решение получается громоздким и ужасно корявым.

Так, например, в рассмотренном примере, общее решение получить можно:

– общее решение.
Ну, еще куда ни шло. Хотя, согласитесь, все равно кривовато смотрится.

Кстати, в данном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: . Это не ошибка, но в «хорошем» стиле общий интеграл принято записывать в виде .

Для этого сразу после интегрирования уравнения, константу следовало записать без всякого логарифма:
(вот и исключение из правила)
И после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде:

Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл, то есть найти производную от функции, заданной неявно:

Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на :

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно.

Желательно всегда проводить проверку. Но однородные уравнения неприятны тем, что проверять их общие интегралы обычно трудно – для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. В рассмотренном примере в ходе проверки уже пришлось находить не самые простые производные (хотя сам по себе пример достаточно простой). Если сможете проверить – проверяйте!

Пример 2

Проверить уравнение на однородность и найти его общий интеграл. Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения, мой ответ в конце урока максимально упрощен, а сам общий интеграл представлен в виде . Напоминаю, что если у вас получится ответ в иной записи, то это еще не значит, что вы допустили ошибку.

Не правда ли простой пример? Внешний вид диффуров очень обманчив;-)

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное уравнение вместо подставим , а вместо подставим :

Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.

Проведем стандартную замену:

Подставим и в исходное уравнение:

После подстановки результат стремимся максимально упростить:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общий интеграл получен, теперь его нужно довести его до ума. Перед тем как выполнять обратную замену , рекомендую снова максимально упростить полученное выражение. Об этом я уже упомянул в решении Примера №2.

Возможно, у некоторых возник вопрос, почему я иногда вдруг убираю модуль под логарифмом? Причина проста – выражение под знаком логарифма, в данном случае , неотрицательно, а значит, модуль записывать не обязательно.

Упрощаем дальше:

Вот теперь обратная замена:

Под корнем нужно привести слагаемые к общему знаменателю и вынести из-под корня всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе решения однородного уравнения, запомните их:

Ответ: общий интеграл:

Я выполнил проверку общего интеграла, но приводить её не буду, а то вы больше не придете к такому маньяку. Да, попробуйте для интереса найти производную. Времяпровождение получите из разряда тех, о которых долго вспоминают. И гордятся.

Пример 4

Выполнить проверку на однородность и решить дифференциальное уравнение

Вот здесь проверка общего интеграла будет не очень сложной. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим пару примеров, когда однородное уравнение задано с готовыми дифференциалами.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является однородным. Да, совсем забыл сказать, в чистовом оформлении работы не обязательно выполнять проверку на однородность. На чистовике она гораздо чаще не проводится, чем проводится. Проверка делается на черновике или мысленно. Кроме того, если вы прорешали первые четыре примера, то многие из вас однородные уравнения уже узнают «в лицо».

Таким образом, почти всегда решение начинается с записи: «Данное уравнение является однородным, проведем замену: …».

Но вернемся к нашему уравнению. В нём присутствуют дифференциалы и . Уравнение можно решить и с дифференциалами, но алгоритм решения будет немного другой, более того, значительно увеличится риск путаницы и ошибок.

Поэтому, если однородное уравнение дано в дифференциалах, то сначала я рекомендую выразить производную , а дальше использовать уже накатанную схему решения.

Для того чтобы выразить производную, нужно каждое слагаемое разделить на :

Вот так-то лучше и понятнее
Проведем замену:

После подстановки максимально упрощаем уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Интеграл левой части стандартно решается с помощью выделения полного квадрата, но в диффурах гораздо удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов:

Используя метод неопределенных коэффициентов, разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:


Таким образом:

Находим интегралы:

Перед обратной заменой в новорожденном общем интеграле опять упрощаем всё, что можно упростить:

Вот теперь обратная замена :

Ответ: общий интеграл:

Кстати редкий случай, когда можно выразить общее решение в «приличном» виде:

Ответ: общее решение:

Но это уже понты, после чего преподаватель с удовольствием предложит вам задание повышенной сложности, которое вы будете решать до конца семестра. Было бы хорошей шуткой, если бы не было горьким опытом.

Попробуйте выполнить проверку общего решения, здесь она не сверхсложная.

Пример 6

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Попробуйте для тренировки и здесь выразить общее решение.

В заключительной части урока рассмотрим еще пару примеров.

Пример 7

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Данное уравнение является однородным, проведем замену:

После замены проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные:

Интегрируем:

Интеграл левой части можно найти двумя способами: методом выделения полного квадрата или методом неопределенных коэффициентов. Как я уже отмечал, в диффурах удобнее использовать второй метод (если, конечно, многочлен можно разложить на множители)

Здесь многочлен на множители раскладывается: можно решить квадратное уравнение , найти его корни и в результате: . Опытные студенты способны выполнить подбор корней и устно.

Методом неопределенных коэффициентов получим сумму дробей:

Таким образом:

Получившийся общий интеграл упрощаем:

И только после упрощений выполняем обратную замену:

Ответ: общий интеграл:

Пример 8

Решить дифференциальное уравнение

Это пример для самостоятельного решения. Отмечу, что время от времени однородное уравнение встречается в виде дроби, типичный пациент выглядит примерно так:

Наверное, многие обратили внимание, что во всех приведенных примерах мы не находили частные решения уравнений (задача Коши). Это не случайно. В практических заданиях
с однородными уравнениями частное решение требуют находить крайне редко, если честно, я даже не припомню таких случаев. Ну а если уж встретилась задача Коши в однородном уравнении, то, после изучения предыдущего урока, она не должна представлять для вас трудностей. Технология – точно такая же, как и для уравнений с разделяющимися переменными. Если уточнить, то почти всегда будут получаться не частные решения, а частные интегралы.

Существуют и достаточно сложные однородные уравнения. Сложность состоит не в замене переменной или упрощениях, а в достаточно трудных или редких интегралах, которые возникают в результате разделения переменных. У меня есть примеры решений таких однородных уравнений. Страшненькие интегралы и страшненькие ответы. Но о них не будем, иначе к большинству читателей явится Фредди Крюгер с формулами на полосатом свитере.

И, для полноты картины, рекомендую изучить статью Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Успешного продвижения!

Пример 2: Решение: Проверим уравнение на однородность:
Вместо подставляем , вместо подставляем :

Все лямбды сократились, и получилось исходное уравнение, значит, данное ДУ является однородным.
Проведем замену: и максимально упростим уравнение:

Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:

Интегрируем:

Надо сказать, с интегралом левой части повезло, бывает гораздо хуже.
Максимально упрощаем общий интеграл.
Если есть дроби, то от них лучше избавиться, умножаем каждую часть на 2:

Константу я переобозначу через :

(Если этот момент не понятен, читайте статью Дифференциальные уравнения первого порядка )
Собираем в правой части всё под логарифм, затем избавляемся от логарифмов

Обратная замена:

Умножаем все слагаемые на :

Ответ: общий интеграл:

Проверка: Дифференцируем общий интеграл:

Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

Пример 4: Решение: Проверим уравнение на однородность:

Данное уравнение является однородным, проведем замену:


После подстановки проводим максимальные упрощения:

Разделяем переменные и интегрируем:

Новорожденный общий интеграл получен, здесь константу я не стал загонять под логарифм, в данном случае – это ни к чему. Использовать или не использовать этот прием с константой – понимание придет с опытом.
Упрощать особо нечего, поэтому проводим обратную замену: :

Общий интеграл можно упростить:

Ответ: общий интеграл:

Пример 6: Решение: Преобразуем уравнение:

Данное уравнение является однородным, проведем замену:


Максимально упрощаем:

Разделяем переменные и интегрируем:

Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену :

Ответ: общий интеграл:
Примечание: Также здесь можно выразить и общее решение: , для этого сразу после интегрирования константу следует загнать под логарифм.

Пример 8: Решение: Данное ДУ является однородным, проведем замену:





Обратная замена:

Ответ: общий интеграл: