Методика вивчення призми і її видів

Призмою називається многогранник, у якого дві грані – рівні -кутники, а решта граней – паралелограми.

Покажемо, як можна побудувати такий многогранник. Нехай і - дві паралельні площини, – пряма, що їх перетинає, і – -кутник у площині (мал1). Проведемо через кожну точку цього -кутника пряму, паралельну прямій і позначимо через точку перетину її з площиною . Усі побудовані так відрізки заповнюють деякий многогранник. Цей многогранний – призма. Його грані і - рівні -кутники з відповідно паралельними сторонами, а решта граней: , ,… - паралелограми.

Рівні -кутники і побудованої призми називаються її основами, паралелограми , ,… - бічними гранями, відрізки , , ,…, - бічними ребрами призми. Поверхня такої - кутної призми складається з двох рівних -кутників і паралелограмів, бічна поверхня – з паралелограмів.

Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендикулярні до основи. Інші призми – похилі. Кожна бічна грань прямої призми – прямокутник.

Висота призми – відстань між площинами її основ. Висота прямої призми дорівнює довжині її бічного ребра.

Призма називається правильною, якщо вона та її основи – правильні многокутники. Усі бічні грані правильної призми – рівні прямокутники. На малюнку 2 зображені правильні трикутна, чотирикутна і шестикутна призми.

Якщо призма опукла, то будь-яка площина, що проходить через бічне ребро і діагональ основи, розтинає її на дві інші призми. Така площина називається діагональної площиною, а переріз призми цією площиною – діагональним перерізом. Діагональний переріз будь-якої призми – паралелограм, а прямої призми – прямокутник.

Форму призми має звичайна цеглина, брусок, дошка, гранований олівець.

Площею бічної поверхні призми називають суму площ її бічних граней.

Теорема: Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи на висоту.

Доведення: Нехай висота даної прямої призми дорівнює , а периметр основи (мал3). Доведемо, що площа її бічної поверхні . Кожна бічна грань прямої призми – прямокутник. Його основа дорівнює відповідній стороні основи призми, а висота висоті призми. Тому . Теорему доведено.

Щоб знайти площу бічної поверхні похилої призми, треба знайти площу кожної її бічної грані та результати додати. Або ж зручно користуватися такою теоремою:

Теорема: площа бічної поверхні похилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу призми на бічне ребро.

Доведення: Нехай - перпендикулярний переріз призми (мал.4), тобто переріз, проведений перпендикулярно до її бічних ребер. Тоді - висоти бічних граней. Оскільки всі бічні ребра призми рівні, то . Теорему доведено.

Примітка: мається на увазі, що згадуваний у теоремі «перпендикулярний переріз» існує. Для похилих призм з малими бічними ребрами (мал.5) формулювання теореми слід уточнити: Площа поверхні призми дорівнює сумі площ її бічної поверхні та подвоєній площі основи: .