Внутренние напряжения и определение сечения

Как мы уже говорили, любой материал сопротивляется растяжению или сжатию до известного предела, после которого сопротивление бесполезно. В сопромате такой предел называется "расчетным сопротивлением" и обозначается литерой " R ", как и электрическое сопротивление. Измеряется расчетное сопротивление в МПа или кгс/см². Физический смысл расчетного сопротивления очень простой - значение расчетного сопротивления означает, с какой силой можно воздействовать на некоторую площадь поперечного сечения материала. Поэтому расчетное сопротивление и измеряется в МПа, Н/см² или кгс/см². Помнится, в школе нам рассказывали сказку: Пришло время отцу умирать, позвал он сыновей (а сыновей было много) и говорит, вон в углу стоит веник, ну-ка, старший сын, вытащи прутик из веника и попробуй его сломать. Вытащил старший сын прутик из веника и легко его сломал, то же самое проделали и остальные сыновья. А теперь сходите на кухню за новым веником, говорит отец, и попробуйте его сломать. Принесли сыновья новый веник ломали его, ломали, но так и не сломали. И тогда отец это простое с точки зрения теории сопротивления материалов событие истолковал так: видите дети, веник - это вы, если будете держаться вместе, никто вас не сломает, а если будете держаться поодиночке, то вас сломает кто угодно. Вообще-то отцу следовало на этом примере объяснить, что чем больше суммарная площадь прутков, на которые действует одна и та же нагрузка, тем меньше внутренние напряжения, возникающие в поперечном сечении веника, но не будем придираться к умирающему человеку, тем более, что он хотел только добра.

Для абсолютного большинства строительных материалов значение расчетного сопротивления уже определено эмпирическим путем, поэтому определить параметры сечения, на которое действуют растягивающие или сжимающие напряжения, не сложно. Значения расчетных сопротивлений для большинства строительных материалов есть в разного рода справочниках, тем не менее при большом желании эти значения можно определить и самому.

Пример №1. На поперечное сечение балки действует равнораспределенная нагрузка, при этом сжимающие напряжения, возникающие в поперечном сечении балки, будут постоянными по всей высоте балки и в этом самом простом случае эти напряжения можно изобразить в виде такой же равнораспределенной реакции, то же самое справедливо и для сосредоточенной нагрузки:

Рисунок №4.1. Внутренние напряжения в поперечном сечении балки.

В этом случае, если нам известна нагрузка и расчетное сопротивление материала, то можно легко определить площадь сечения конструкции:

S ≥ Q / R (4.1)

Пример №2. На поперечное сечение балки действует изгибающий момент, который можно заменить парой сил (рисунок №3.2) или распределенной нагрузкой, изменяющейся по высоте (рисунок №3.3). Т.е. на растяжение или на сжатие работает не вся площадь балки, а только часть и поэтому использовать приведенную выше формулу нельзя, нужно как-то учитывать изменение внутренних напряжений в зависимости от высоты балки.

Для наглядности на пару минут вернемся к нашей линейке. Если мы возьмем линейку, которая лежала на книгах плашмя, поставим ее и приложим к линейке точно такую же нагрузку как и к лежащей плашмя линейке, то линейка вообще не прогнется, точнее прогнется, но увидеть это невооруженным глазом невозможно. В чем же дело? ведь ни нагрузка, ни длина балки и, соответственно, изгибающий момент, ни материал балки, ни сечение балки не изменились, изменилось только положение балки в пространстве. Теория сопротивления материалов объясняет это чудо так: при действии на балку нагрузки балка деформируется (прогибается), при этом верхняя часть балки сжимается и в этой части возникают сжимающие напряжения, а нижняя часть балки растягивается и в этой части возникают растягивающие напряжения. Эти напряжения называются нормальными, так как они направлены перпендикулярно поперечному сечению балки (по нормали). Конечно же при деформации балки в любом поперечном сечении возникают и касательные напряжения, направленные параллельно поперечному сечению (значение этих напряжений можно определить по эпюре "Q", рисунки №2.1 и №2.2), но значение касательных напряжений намного меньше, чем нормальных напряжений, поэтому большинство расчетов строительных конструкций может производиться без учета касательных напряжений. При этом предполагается, что в некоторой точке (а точнее в ряде точек, которые находятся на оси z) поперечного сечения балки никаких деформаций нет, т.е. значение нормальных сжимающих или растягивающих напряжений равно 0, при этом максимальные сжимающие напряжения возникают в самом верхнем слое балки, а максимальные растягивающие напряжения возникают в самом нижнем слое балки. Графически это выглядит так:

Рисунок №4.2. Напряжения, возникающие в поперечном сечении балки при действии изгибающего момента.

Примечание: как видно из этого рисунка, нормальные напряжения - это ответная реакция деформируемого материала на действующую пару сил или изгибающий момент.

Когда мы прикладывали пару сил к поперечному сечению балки (рисунок №3.2), то не сильно заботились о точках приложения сил. Теперь мы видим, что под действием этой пары сил в поперечном сечении балки возникают сжимающие и растягивающие напряжения и если рассматривать поперечное сечение балки, как отдельную балку, то сжимающие и растягивающие напряжения можно рассматривать как нагрузку, действующую на балку, а пару сил, создающую вращающий момент, в этом случае можно рассматривать, как реакции опор. Для того, чтобы соблюдалось условие равновесия системы, эти силы должны быть приложены не абы как, а на некотором вполне определенном расстоянии от точки "о". И получается, что эти расстояния и есть плечи действующих сил, создающих вращающий момент. Для упрощения решения задачи мы можем рассматривать верхнюю и нижнюю часть балки отдельно, так как мы предполагаем для конструкции из однородного материала, что растягивающие напряжения суммарно равны сжимающим напряжениям и при этом площадь на которую действуют растягивающие напряжения, равна площади, на которую действуют сжимающие напряжения. Если мы определим плечо силы и разделим значение момента, который мы уже давным давно рассчитали, то мы опять же легко определим требуемую площадь сечения конструкции:

S ≥ M /(y R) (4.2)

С математической точки зрения вполне справедливым будет следующее выражение:

Sу ≥ M/R (4.2а)

Вроде бы опять все не очень сложно, но оказывается таким простым математическим действием мы получили одну из самых главных расчетных формул сопромата:

W ≥ М/R (4.3)

где W - это момент сопротивления поперечного сечения балки, другими словами, площадь сжимаемой или растягиваемой части сечения балки, умноженная на плечо действия равнодействующей силы.

В принципе это и есть самая главная и самая сложная формула, смысл ее следующий, если Вы не хотите, чтобы ваша конструкция разрушилась, то момент сопротивления должен быть больше или равен максимальному изгибающему моменту, деленному на расчетное сопротивление.

Площадь, на которую действуют растягивающие или сжимающие напряжения, составляет

S = bh/2 (4.4)

где b - ширина балки, h - высота балки.

Теперь нужно определить у - плечо действия равнодействующей силы. Сделать это можно разными способами, мы воспользуемся самым простым и наглядным.

Как известно на все тела, живые и неживые, в пределах планеты Земля действует сила тяжести. Например, если линейка которую мы все никак не можем доломать, весит 50 г, то это означает, что на линейку действует сила тяжести 0.5 Н или 0.05 кгс. Кроме того, пока никто не опровергнул и предположения, что на каждый отдельный атом, молекулу и любую другую часть материи действует своя сила тяжести, при этом общая сила тяжести линейки равна сумме сил тяжести всех атомов или других частиц, входящих в состав этой линейки. Далее, чтобы линейка не падала на землю под воздействием силы тяжести, мы должны сделать опору для линейки хотя бы в одной точке. Точка эта не простая, получается, что сумма моментов, возникающих при действии сил тяжести, действующих на каждую частицу линейки, в этой точке равна нулю. Таким образом соблюдается условие равновесия системы. Вполне логично эта точка называется центром тяжести. Например, для нашей линейки центр тяжести находится в геометрическом центре линейки. Но сейчас нас интересует центр тяжести не прямоугольника, а треугольника, который символизирует внутренние напряжения или линейно изменяющуюся равномерную нагрузку. Как утверждает наука геометрия, центр тяжести треугольника находится на пересечении медиан углов треугольника, при этом расстояние от любого острого угла до высоты, опущенной на катет, равно 2/3 длины этого катета (рисунок №4.2). Так как мы рассматриваем не все поперечное сечение балки, а только верхнюю (или нижнюю половину), то

у = (h/2)(2/3) = h/3 (4.5)

Теперь, когда мы определили значение плеча силы, мы можем подставить его в формулу (4.2) или (4.2а), а можем сначала определить момент сопротивления для нашей балки прямоугольного сечения относительно оси z:

W_z= Sh/3 = (bh/2) h/3 = bh²/6 (4.6)

Момент сопротивления сечения можно определять и как отношение момента инерции относительно оси z к максимальному расстоянию от оси z до наиболее удаленных точек сечения.

W_z= I_z/ (h/2) = (bh³/12)/(h/2) = bh²/6 (4.7)

Что такое момент инерции, излагается отдельно. Здесь добавлю только, что момент сопротивления - это производная от момента инерции. Формулы для определения момента инерции и момента сопротивления для поперечных сечений различных геометрических форм выложеныотдельно.

Ну а теперь, когда мы уже столько всего знаем, то для проверки своих знаний определим момент сопротивления линейки в разных положениях. Когда линейка у нас лежала плашмя, то ширина балки была, например, 3 см, а высота 0.4 см, это значит, что момент сопротивления был 3·0.4² /6 = 0.08 см³. Когда мы поставили линейку, ширина балки составила 0.4 см, а высота 3 см и в этом случае момент сопротивления стал равен 0.4·3² / 6 = 0.6 см³, т.е. в 7.5 раз больше. Разница существенная.

Но это еще далеко не все, расчетные формулы сопромата позволяют достаточно легко определить не только касательные и нормальные напряжения, действующие на поперечное сечение балки, но также угол поворота и прогиб - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки относительно оси у в любой точке.