Метод узловых потенциалов. Метод базируется на первом законе Кирхгофа

Метод базируется на первом законе Кирхгофа. Неизвестными для метода являются узловые потенциалы. Потенциал одного из узлов принимают равным нулю. Такое предположение допустимо, так как ток каждой ветви зависит не от абсолютных значений потенциалов узлов, а от разности потенциалов, приложенной к ветви.

Пусть потенциал узла 4 равен нулю. Произвольно выберем направления токов в ветвях и составим уравнения для остальных узлов на основании первого закона Кирхгофа:

Схема цепи для расчета методом узловых потенциалов.

1 узел: ;2 узел: ;3 узел: .

Токи в ветвях на основании закона Ома выражаются: ,где

-напряжениена зажимах ветви; знаки перед U_ад и E выбираются в зависимости от того, совпадает или не совпадает направление тока I с положительными аправлениями U_ад и E. Тогда токи ветвей: ; ; ;

; .

Найденные уравнения подставляются в исходную систему уравнений, составленную по первому закону Кирхгофа. Выполнив группировки членов уравнения с одинаковым значением потенциалов, получаем новую систему уравнений относительно неизвестных потенциалов φ ₁, φ ₂, φ ₃:

В результате решения системы уравнений получают значения потенциалов узлов, на основании которых можно определить напряжения между узлами и по закону Ома определить токи в ветвях.

Найденные потенциалы могут иметь различные знаки. С этими знаками значения потенциалов подставляются в уравнения для нахождения токов.

Систему уравнений можно составлять по схеме замещения цепи не прибегая к получению системы уравнений из первого закона Кирхгофа. Для чего разберем структуру любого уравнения, например, первого. Потенциал первого узла φ ₁ умножается на сумму проводимостей всех ветвей, образующих данный узел: G₁+G₂+G₃. Со знаком “минус” записываются слагаемые вида φ_kG _{1 k}, где G _{1 k} – проводимость k -ой ветви, входящей в рассматриваемый узел, φ_k – потенциал соседнего (смежного) узла.

В правой части уравнения слагаемые вида E_iG_i записываются со знаком “плюс” в том случае, если источник ЭДС направлен к рассматриваемому узлу, в противном случае – со знаком “минус”.

В окончательном виде система уравнений для узловых потенциалов приобретает следующий вид:

и в матричной форме

Собственная проводимость узла (G_ii) представляет собой сумму проводимостей всех ветвей, соединенных в i -ом узле.
Общая проводимость i -ого и j -ого узлов (G_ij = G_ji) представляет собой взятую со знаком «минус» сумму проводимостей ветвей, присоединенных одновременно к i- ому и j- ому узлам.
Узловой ток (J_ii) состоит из двух алгебраических сумм: первая содержит токи источников тока, содержащиеся в ветвях, соединенных в i- ом узле; вторая представляет собой произведение ЭДС источников напряжения на проводимости соответствующих ветвей, соединенных в i- ом узле. Со знаком «плюс» в эту сумму входят E и J источников, действие которых направлено к узлу, со знаком «минус» остальные.

Решение полученной системы уравнений в общем случае может выполняться, например, методом Крамера при помощи определителей:

Тогда неизвестные потенциалы могут вычислены следующим образом:

Таким образом, методика расчета цепи постоянного тока методом узловых потенциалов следующая:

1. Обозначить все токи ветвей и их положительное направление.

2. Произвольно выбрать опорный узел и пронумеровать все остальные узлы.

3. Определить собственные и общие проводимости узлов, т.е. рассчитать коэффициенты в системе уравнений.

4. Записать систему уравнений в алгебраической форме:

или в матричной

5. Полученную систему уравнений решить относительно неизвестных (n – 1) потенциалов.

6. С помощью обобщенного закона Ома рассчитать неизвестные токи.

7. Проверить правильность расчетов при помощи баланса мощности.