Решение систем нелинейных уравнений

Эта задача имеет самое непосредственное отношение к задачам оптимизации.

Рассмотрим метод Ньютона.

Пусть имеется система нелинейных уравнений

(1)

Итерационная процедура представляется в виде

– значение вектора на –й итерации.

Введем обозначения

.

Предполагая малость приращений разложим в ряд Тейлора вектор-функции , оставляя только члены не выше первого порядка малости.

где – матрица Якоби в точке

.

Предположим, что находится вблизи искомого решения и есть решение (1), т.е. , тогда для определения получим систему линейных уравнений

для сходимости метода вводится параметр , регулирующий величину шага , т.е.

выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

Отметим некоторые недостатки метода.

1. Метод требует хорошего начального приближения. При плохом начальном приближении процесс может вообще расходиться.

2. На каждом шаге нужно решать систему линейных уравнений, что может потребовать больших временных затрат.

3. Есть проблемы с вычислением матрицы Якоби. Каждый элемент матрицы надо определять разностным методом. Есть так называемые квазиньютоновские методы, которые, в основном, направлены на упрощение расчета матрицы Якоби.

Date: 2015-07-27; view: 362; Нарушение авторских прав