Интегрируя зависимости (1.7) и (1.8), получим

Q_y = Q_o - q_y × z и , (1.9)

где Q_o и M_о соответственно поперечная сила и изгибающий момент в начале участка, w _Q – площадь эпюры Q от начала участка до рассматриваемого сечения.

В частности, если q_y = ± q = const, то формулы (1.9) принимают

вид (1.10)

Рис. 1.12

Рассматривая равновесие элемента, выделенного на границе двух смежных участков и нагруженного сосредоточенной силой F (рис. 1.12)

или сосредоточенным моментом М, находим

(1.11)

Знак “минус” соответствует нагрузке, противоположной указанной на рис. 1.12.

При построении эпюры Q_y положительные значения поперечной силы принято откладывать вверх, а отрицательные вниз. Н а э п ю р е М_х ординаты откладываются со стороны растянутых волокон, что с учетом правила знаков для изгибающих моментов означает: п л ю с - в н и з, м и н у с - в в е р х.

На основании формул (1.10) и (1.11) можно сформулировать следующие п р а в и л а п о с т р о е н и я э п ю р Q_y и М_х:

	1. На участке, свободном от погонной нагрузки (q = 0), поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону.
	2. На участке с равномерно распределенной нагрузкой поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент описывается уравнением квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону нагрузки. В сечении, где Qy = 0, Мх имеет экстремум.
	3. Под сосредоточенной силой на эпюре Qy происходит скачок на величину этой силы (при обходе слева направо скачок совпадает с направлением силы!).

	4. В сечении, где к балке приложен сосредоточенный момент М, на эпюре Мх возникает скачок, равный по величине приложенному моменту. Направление скачка зависит от направления момента: если момент вызывает растяжение нижних волокон, то скачок происходит вниз и наоборот.
Р а м о й называется система, состоящая из стержней, жестко соединенных в узлах. В поперечных сечениях рамы возникает три внутренних силовых фактора: продольная Nz и поперечная Qy силы, а также изгибающий момент Мх. Для поперечной силы сохра-

няется правило знаков, принятое в балках. Изгибающий момент считается положительным, если он вызывает растяжение волокон, расположенных со стороны внутреннего контура.

П р и м е р 1.7

Построить эпюры Qy и Мх для балки с консолью. Р е ш е н и е 1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия: å mB = 0, RA ×2 a - qa2 - qa × a /2 = 0, откуда ,

Рис. 1.13

å m_А = 0, R_В ×2 a - qa² - qa ×5 a /2 = 0, откуда R_B = (7/4) qa.

Проверка: å y = 0, R_A - R_B + qa = 3 qa /4 - 7 qa /4 + qa º 0.

2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

Э п ю р а Q_y. В сечении А происходит скачок вниз на величину реакции R_A и Q_A = - R_A. На всем протяжении участков АС и СВ распределенная нагрузка отсутствует (q = 0), поэтому эпюра Q_y представляется отрезком прямой, параллельной оси абсцисс. Наличие пары сил на эпюре Q_y не отражается. В сечении В происходит скачок вверх, равный по величине приложенной реакции R_B, и правее этого сечения имеем Q_BD = Q_BC + R_B = -3 qa /4 + 7 qa /4 = qa. На участке BD поперечная сила изменяется по линейному закону (Q_y = Q_o - qz) от Q_o = Q_BD = qa до Q_D = Q_BD - qa = 0. По условию загружения балки в сечении D нет сосредоточенной силы, поэтому Q_D = 0. Совпадение значений Q_D, полученных независимо друг от друга, служит проверкой правильности построения эпюры Q_y.

Э п ю р а М_х. Она строится по формуле М_х = М_о + w _Q. На опоре А нет пары сил, поэтому М_А = 0. На участке АС момент изменяется по линейному закону. Находим момент в сечении, бесконечно близком слева от точки С: М_СА = М_о + w _abcd = -(3/4) qa × a = -3 qa ²/4. По двум точкам (А и С) строим наклонную прямую. Пара сил, приложенная в сечении С, вызывает растяжение нижних волокон балки при движении слева направо, поэтому на эпюре М_х скачок вниз и в бесконечно близком сечении справа от точки С изгибающий момент равен: M_CB = M_CA + qa ² = qa ²/4. Находим момент в сечении В:

M_B = M_CB + w _dcef = qa ²/4 - 3 qa ²/4 = - qa ²/2 и по двум точкам строим наклонную прямую. На участке BD момент изменяется по квадратичному закону, достигая в сечении D значения, равного M_D = M_B + w _fkl = - qa ²/2 + (1/2) qa × a = 0. С другой стороны, по условию загружения балки на свободном конце M_D = 0. Совпадение результатов служит проверкой правильности построения эпюры М_х. По двум точкам (В и D) приближенно строим параболу, обращенную выпуклостью вниз (в направлении нагрузки q). Вершина параболы совпадает с точкой D, так как Q_D = 0.

П р и м е р 1.8 Построить эпюры Qy и Мх для простой консоли, изображенной на рис. 1.14. Р е ш е н и е 1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия: å mA = 0, MA + F × a + M - q ×2 a ×4 a = 0,

Рис. 1.14

откуда M_A = 6 qa ²; å Y_i = 0, R_A = q ×2 a - F = qa.

2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.

Э п ю р а Q_y. В сечении А имеем Q_A = R_A (скачок на величину и в направлении реакции R_A = qa). На участке АВ погонной нагрузки нет, поэтому поперечная сила постоянна. В сечении В поперечная сила меняется скачком от Q_BA = Q_A = qa до Q_BC = Q_BA + F = 2 qa (скачок на величину и в направлении силы F = qa). На участках ВС и CD поперечная сила опять сохраняет постоянное значение, т.е. Q_BC = Q_CD = 2 qa. На участке DE поперечная сила изменяется по линейному закону от Q_D = 2 qa до Q_E = Q_D - q ×2 a = 0.

Э п ю р а М_х. В сечении А приложен момент М_А, вызывающий растяжение верхних волокон, поэтому на эпюре изгибающего момента происходит скачок вверх на величину момента M_A = 6 qa ². На участке АВ М_х изменяется по линейному закону. Вычисляем момент в сечении В

M_B = M_A + w _Q = -6 qa ² + qa × a = -5 qa ² и проводим наклонную

прямую. Аналогично на участках ВС и СD. В бесконечно близком сечении слева от точки С момент равен M_СB = M_B + w _Q = -5 qa ² + 2 qa × a = -3 qa ². В сечении С на эпюре М_х скачок вверх, равный приложенной паре сил M = qa ², и правее этого сечения имеем

M_CD = M_CB - qa ² = -3 qa ² - qa ² = -4 qa ². Момент в сечении D M_D = M_CD + w _Q = -4 qa ² + 2 qa × a = -2 qa ². На участке DE изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью вниз (в сторону погонной нагрузки q). В сечении Е по условию загружения балки М_Е = 0. По двум точкам D и Е приближенно строим параболу.

Рис. 1.15

П р и м е р 1.9 Построить эпюры Qy и Мх для балки (рис. 1.15). Р е ш е н и е. 1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия: å mB = 0, q ×4 a × a + qa 2 + 3 qa 2- RD ×4 a = 0, откуда RD = 2 qa; å mD = 0, RB ×4 a + qa 2 +3 qa 2- q ×4 a ×3 a = 0, откуда RB = 2 qa.

П р о в е р к а

å Y_i = 0, q ×4 a - R_B - R_D = 4 qa - 2 qa - 2 qa = 0.