Упражнения на построение моделей

1. Фирма «Лесная пилорама» столкнулась с проблемой наиболее рационального использования ресурсов лесоматериалов, имеющихся в одном из принадлежащих этой фирме лесных массивов. В районе данного массива имеется лесопильный завод и фабрика, на которой изготавливают фанеру. Таким образом, лесоматериалы можно использовать как для производства пиломатериалов, так и для изготовления фанеры.

Чтобы получить 2,5 кубометра коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 кубометра еловых и 7,5 кубометров пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 кв.м фанеры требуется 5 куб.м еловых и 10 куб.м пихтовых лесоматериалов. Лесной массив содержит 80 куб.м еловых и 180 куб.м пихтовых лесоматериалов.

Согласно условиям поставок, в течение планируемого периода необходимо произвести по крайней мере 10 куб.м пиломатериалов и 1200 кв.м фанеры. Доход с 1 куб.м пиломатериалов составляет 16$, а со 100 кв.м фанеры –60$.

Пусть L-количество (в куб.м) производимых пиломатериалов, P – количество (в кв.м) изготавливаемой фанеры.

а) Построить линейную оптимизационную модель задачи.

б) Пользуясь графическим методом, изобразить допустимые варианты решений и указать среди них оптимальное. (см. Вагнер Г. Основы исследования операций. Том 1, гл.4.)

2. Фирме «Иерихонская сталь» предстоит решить, какое количество чистой стали и какое количество металлолома следует использовать для приготовления (из соответствующего сплава) литья для одного из своих заказчиков. Пусть производственные затраты в расчете на 1 т чистой стали равняются 3 у.е., а затраты в расчете на 1 т металлолома – 5 у.е. (дороже, т.к. использование металлолома связано с его предварительной очисткой). Заказ предусматривает поставку не менее 5 т литья; при этом заказчик готов купить и большее количество литья, если фирма поставит перед ним такие условия.

Предположим, что запасы чистой стали ограничены и не превышают 4 т, а запасы металлолома не превышают 6 т. Отношение веса металлолома к весу чистой стали в процессе получения сплава не должно превышать 7:8. Производственно-технологические условия таковы, что на процессы плавки и литья не может быть отведено более 18 час.; при этом на 1 т стали уходит 3 часа, а на 1 т металлолома – 2 часа производственного времени.

а) Построить линейную оптимизационную модель задачи.

б) Пользуясь графическим методом, указать оптимальный вариант. (см. Вагнер Г. Основы исследования операций. Том 1, гл.4.)

3. Фирма «Лакомка» выпускает 4 вида пищевых полуфабрикатов. Каждый из них состоит из ряда ингредиентов (крахмал, сахар, витамины и т.д.).

Пусть индекс i указывает на порядковый номер ингредиента (i=1,2,…,l), j – номер полуфабриката (j=1,…,4). Предположим, что максимальное количество ингредиента i, которым фирма располагает в течение ближайшего месяца, равняется Mi.

Доход, получаемый с одного килограмма полуфабриката j, обозначим через Pj. Через xj обозначим число килограммов полуфабриката j, произведенного фирмой в течение ближайшего месяца. Пусть за этот период должно быть произведено не менее: 100000 кг полуфабриката 1, 125000 кг полуфабриката 2, 30000 кг полуфабриката 3 и 500000 кг полуфабриката 4.

С помощью модели линейного программирования построить оптимальный план выпуска перечисленной выше продукции.