Конус эллиптический

1.?. 2.?.

3.?. 4.?.

5.?. 6.?.

7.?. 8.?.

9.?. 10.?.

11.?. 12.?.

13.?. 14.?.

15. ? . 16. ?

17.?. 18.?.

19.?. 20.?.

Пример решения Задачи 1

Пусть заданы матрицы

.

Найдем матричный элемент ? если матричный элемент .

Поскольку символ Кронекера представляет собой матричный элемент единичной матрицы , для него оказывается справедливым свойство

.

В выражении по повторяющимся индексамподразумевается суммирование от1 до 3. Поэтому при суммировании по индексу из всех слагаемых остается не равным нулю только одно, в котором . Таким образом, суммирование по индексу снимается с заменой , при этом выражение для матричного элемента упрощается, превращаясь в , асимвол заменяется единицей, которую не записываем.

Аналогичным образом поступаем и с символом , заменяя индекс и, тем самым, снимая суммирование по повторяющемуся индексу . Не записывая , получаем выражение для матричного элемента .

Последний оставшийсясимвол также не выписывается, при этом суммирование по повторяющемуся индексу снимается и производится в оставшемся выражении замена индексов . Таким образом, имеем .

Имеющееся здесь независимое суммирование по повторяющимся индексам и приводит к произведению следов матрицы : .

Таким образом, матричный элемент может быть представлен в виде , из которого может быть найдено искомое значение матричного элемента

.

Найдем другим способом это значение, записав целиком всю матрицу . Действительно, из выражения следует равенство матриц:

.

Откуда имеем .

Задача 2

Для заданных матриц

вычислить следующие выражения:

1.1 1.11 1.21

1.2 1.12 1.22

1.3 1.13 1.23

1.4 1.14 1.24

1.5 1.15 1.25

1.6 1.16 1.26

1.7 1.17 1.27

1.8 1.18 1.28

1.9 1.19 1.29

1.10 1.20 1.30

Пример решения Задачи 2

Вычислить выражение .

.

Задача 3

Записать выражение для матричного элемента Задачи 2, освободившись от транспонированных матриц.

Пример решения Задачи 3

Найдем матричный элемент матрицы . Учитывая правило умножения матриц, для матричного элемента получаем выражение . Для того, чтобы освободиться от транспонированных матриц, воспользуемся свойством . Для искомого матричного элемента тогда получаем выражение . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование.

Задача 4 Выразить переменные через , если имеют место следующие соотношения ( - номер варианта):

.

Пример решения Задачи 4

Выразить переменные через , если имеют место соотношения:

.

Введем матрицы: .

Заданные соотношения тогда можно представить в форме

.

Искомая связь между и может быть найдена как

.

Откуда, расписывая матрицу , получаем ответ:

.

Задача 5 Вычислить определители матриц (значения матриц взять из условий Задачи 2)

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

Пример решения Задачи 5

Вычислить определители матриц .

Учитывая свойства единичной матрицы, имеем: .

.

Задача 6 Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса; в) методом Крамера; с) методом обратной матрицы. ( - номер варианта). Сделать проверку полученного решения.

.

Пример решения Задачи 6

Решить систему уравнений а) методом Гаусса; в) методом Крамера; с) методом обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения.

.

а) Расширенная матрица системы имеет вид:

.

Переставим местами две первые строки матрицы.

.

Добиваемся, чтобы под главной диагональю матрицы были только нули. Так в первом столбце уже имеется один ноль. Добьемся, чтобы вместо двойки в первом столбце стоял ноль. Для этого нужно первую строку нужно умножить на (-2) и прибавить к третьей, записывая результат сложения в третью строку имеем:

.

Таким образом, первое действие метода Гаусса выполнено – имеем в первом столбце матрицы все нули.

Вторым действием добиваемся, чтобы под главной диагональю второго столбца также был ноль. Для этого третью строку умножаем на (2) и прибавляем ко второй, записывая результат сложения в третью строку:

.

Матрица приведена к треугольному виду. Для получения решения системы, удобно новой расширенной матрице поставить в соответствие систему уравнеий:

.

Решаем систему, начиная с третьего уравнения:

.

в) Решаем систему методом Крамера.

Построим определитель , соответствующей левой части системы уравнений:

.

Поскольку найденный определитель не равен нулю, система может быть решена методом Крамера.

Построим определитель , соответствующий

-ому столбцу определителя, для этого в определителе вместо -го первого столбца поставим столбец свободных членов системы:

.

Аналогично для переменных y и z также строим соответствующие определители:

.

По найденным определителя находим решение системы по формулам

.

с) Решаем систему методом обратной матрицы.

Для левой части системы построим матрицу коэффициентов

.

Ее определитель не равен нулю () т. е матрица А не является вырожденной, следовательно система может быть решена методом обратной матрицы.

Представим нашу систему в матричной форме:

.

Введем еще две матрицы, соответствующие неизвестным x, y, z и столбцу свободных членов в правой части системы:

,

то система, записанная в матричной форме, может быть представлена в компактной форме

.

Умножим слева это матричное уравнение на обратную матрицу , тогда с учетом, что где - единичная матрица, имеем:

.

Таким образом, неизвестную матрицу можно вычислить, если будет известна обратная матрица . Найдем эту матрицу по формуле

,

где в числителе имеется транспонированная ассоциированная матрица (матрица алгебраических дополнений матрицы ).

Решение системы записывается в виде

.

Таким образом, имеем:

Сделаем проверку полученного решения:

.

Ввиду того, что при подстановке полученного решения в первоначальную систему трех уравнений получаются три тождества, решение верно.

Задача 7 Найти общее решения систем линейных алгебраических уравнений (N -номер варианта). Ответ представить в матричной форме, разложив вектор решения системы по базису. Сделать проверку полученного общего решения.

.

Пример решения Задачи 7

Найти общее решение системы уравнений. Решение системы представить в матричной форме. Сделать проверку полученного решения.

.

Решение проводим методом Гаусса. Расширенную матрицу системы приводим к треугольному виду (четвертое уравнение сделаем первым):

Ввиду того, что четвертая строка совпадает с третьей, третье и четвертые уравнения системы совпадают. Отбросим одно из них и запишем соответствующую систему уравнений:

Ввиду того, что в системе три независимых уравнения, а неизвестных четыре, одну неизвестную считаем произвольным параметром t и, решая систему «снизу вверх», т.е. сначала решаем третье уравнение, затем второе и, наконец, третье, находим три неизвестных, выражая их через введенный параметр t.

Общее решение системы (решение, зависящее от произвольного параметра) представим в матричной форме, используя правила обращения с матрицами:

.

Таким образом, четырехмерный вектор общего решения разложен по базису из двух векторов, первый из которых является частным решением первоначальной системы уравнений (легко проверить подстановкой вектора в систему), а второй является решением соответствующей однородной системы уравнений (легко проверяется также подстановкой его в однородную систему уравнений – систему, у которой справа стоят нули). Сделаем проверку общего решения системы:

Подставим первый вектор в первоначальную систему уравнений

.

Таким образом, первый вектор действительно оказывается частным решением первоначальной системы уравнений.

Подставим второй вектор в соответствующую однородную систему уравнений

.

Ввиду того, что второй вектор удовлетворяет соответствующей однородной системе уравнений, проверка общего решения системы уравнений завершена.

Задача 8 Для заданных векторов:

a=( -1,2,3); b= (0-2,1); c= 2 i +3 j- 2 k; d= -2 j + k;

m= (1,-2,-3); p= (-2,0,1); n =(0,1,2)

и пространственных точек:

A(0,-1,2); B(2,3,-1); C(2,0,0); D(1,1,1); E(0,2,3); F(1,-1,0); G(2,0,3)

упростить и вычислить выражения (N-номер варианта):

a) (N a+b-c) ( N n- 2 p+a-b+c)+AB CD+a/ a+ i+j-k;

b) a( N-10)(b+m- 2 p)+ a+2b-c-AE+(FG/ FG)(N c-d+k);

c) найти угол между векторами EF и (с+ N d).

d) проверить справедливость формулы a (b c)=b(ac)-c(ab).

Примечание: Вектора обозначаются жирным шрифтом, а модули векторов - нежирным.

Пример решения Задачи 8

Для заданных векторов и пространственных точек упростить выражения: (a-2 b)(a + 2b)+| AB a| |i+2j-k|,

где a=i+3j +2k; b= (1, -3, 2); A(2,0,1); B(0,-1,-3)/

Вычислим первое слагаемое: используя свойства скалярного произведения векторов, имеем

(a-2b)(a+2b)= +2 ab- 2 ab - =

AB a

| AB a|= |i+2j-k|= .

Подставляем найденные множители в искомое выражение, получаем:: (a-2 b)(a + 2b)+| AB a| |i+2j-k| =

Задача 9 Разложить вектор , где номер варианта, по базису . Сделать проверку.

Пример решения Задачи 9

Разложить вектор по базису где векторы Сделать проверку.

Разложение ищем в виде: где неизвестные коэффициенты. Найдем их составив матричное уравнение, а из него систему уравнений:

Решая систему, получаем искомые коэффициенты: откуда разложение вектора по базису принимает вид:

Сделаем проверку: . Проверка завершена.

Задача 10 Для двух параллельных прямых (N- номер варианта)

и плоскости

найти:

a) три произвольных точки A, B, C плоскости;

b) три произвольных точки М, Р, К второй прямой;

c) точку пересечения первой прямой с плоскостью;

d) расстояние между прямыми;

e) угол между первой прямой и плоскостью;

f) построить уравнение плоскости, проходящей через две прямые;

g) записать каноническое уравнение прямой, лежащей на пересечении плоскостей;

Пример решения Задачи 10

На плоскости :

a) найти три точки A, B, C,

b) через них провести прямую AB,

c) найти расстояние от точки C до прямой AB.

d) Найти точку пересечения прямой L, заданной двумя плоскостями L: и плоскости .

e) Найти каноническое уравнение прямой L и

g) угол между нормалью к плоскости и прямой L.

Решение:

a) Для нахождения точки A положим, например тогда значение найдем из уравнения плоскости Итак, A(1,0,0). Аналогично найдем точки В(2,1,-1); С(-1,1,0).

b) Каноническое уравнение прямой

АВ:

c) Для нахождения расстояния от точки С до прямой AB через точку С проведем плоскость , перпендикулярную прямой АВ, затем найдем точку пересечения К этой плоскости с прямой АВ, тогда искомое расстояние будет равно расстоянию между точками К и С.

:

Найдем точку К, лежащую на пересечении прямой АВ и плокости :

Ввиду того, что точка К совпадает с точкой С, точкам С принадлежит прямой АВ и, следовательно, искомое расстояние равно нулю (это можно было заметить сразу, если подставить координаты точки С в уравнение АВ.

d) Найдем точку пересечения М прямой L и плоскости , решая совместно систему трех уравнений: M:

е) Каноническое уравнение прямой L можно построить, если знать одну точку прямой и направляющий вектор прямой

Найдем точку Р прямой L: Положим, например тогда координаты точки найдем из системы уравнений L:

Направляющий вектор прямой L найдем как векторное произведение векторов нормалей к плоскостям, образующим прямую L.

Таким образом,

Каноническое уравнение прямой L можно теперь записать:

L:

f) Угол между нормалью к плоскости и прямой L можно найти как угол между векторами -вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой L:

.

Задача 11 Cделать схематические рисунки поверхностей второго порядка ( -номер варианта)

a)

b)

c)

d)

e)

Пример решения Задачи 11

Сделать схематический рисунок поверхностей второго порядка

А) В)

Решение:

А) Приведем поверхность к каноническому виду, для чего выделим полный квадрат по переменной х:

.

Сделаем параллельный перенос осей координат, введя новые переменные: ,

при уравнение поверхности в новой системе координат принимает канонический вид:

Найдем координаты точки - начала новой штрихованной системы координат. Для чего приравняем координаты нулю:

Взаимное расположение осей координат можно представить на рисунке 1.

Рис. 1

Сделаем схематический рисунок поверхности в штрихованной системе координат, воспользовавшись методом сечений:

1. Рассекаем поверхность плоскостью , в сечении получаем уравнение параболы , которую обозначим на рисунке как .

2. Рассекаем поверхность плоскостью , в сечении получаем опять параболу , обозначенную на рисунке .

Ввиду того, что два основных сечения – параболы, поверхность называется параболоидом. Тип параболоида определим, сделав третье сечение.

3. Рассекаем поверхность плоскостью в сечении получаем гиперболу , обозначенную на рисунке g.

По третьему сечению определяем тип параболоида как гиперболический. Таким образом, название поверхности:

ПАРАБОЛОИД ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ.