Примеры решения задач. Задача 1. Дано: N1 = 500 кН, N2 = 700 кН, N3 = 1200 кН; а1 = 4 м, а2 = 2 м, z = 4 м

Задача 1. Дано: N ₁ = 500 кН, N ₂ = 700 кН, N ₃ = 1200 кН; а ₁ = 4 м, а ₂ = 2 м, z = 4 м. Построить эпюры напряжений по сечениям I-I и II-II.

Начертим схему приложения нагрузок (рис. 1).

Рис. 1. Схема действия нагрузок и эпюры напряжений

Решение. При приложении к горизонтальной поверхности массива грунта нескольких сосредоточенных сил N ₁, N ₂ и N ₃ значения вертикальных составляющих напряжений s _z,i в любой точке массива определяются суммированием напряжений от действия каждой силы в отдельности по формуле

, (1)

где k_i – коэффициент, являющийся функцией отношения и принимаемый по прил. 1; r_i - расстояние по горизонтальной оси от рассматриваемой точки до вертикальной линии, проходящей по действию приложенных сил N ₁, N ₂ и N ₃; z_i – глубина рассматриваемой точки от горизонтальной плоскости приложения сосредоточенной силы N_i.

Вычислим напряжения s _z по сечению I-I. Для этого сечения значения r_i постоянные, т.е. r ₁ = 4 м, r ₂ = 0 м, r ₃ = 2 м, изменяются

только значения z_i для каждой точки. Обозначим эти точки 1, 2, 3 и 4. Определим значение напряжения для первой точки. Выражение (1) запишется следующим образом:

z ₁ = 1 м. Вычислим значения коэффициентов k ₁, k ₂, k ₃. Из прил. 1 при k ₁ = 0,004. Точно также вычислим значения остальных коэффициентов при k ₁ = 0,4775; при k ₁ = 0,0085.

Точно также вычислим s _z для остальных точек по сечению I-I.

где k ₁ = 0,0085 при k ₂ = 0,4775 при k ₃ = = 0,0844 при

где k ₁ = 0,0844 при k ₂ = 0,4775 при k ₃ = 0,2733 при

где k ₁ = 0,0251 при k ₂ = 0,4775 при k ₃ = = 0,3670 (при интерполяции) при

По этим данным строим эпюру напряжений в сечение I-I в масштабе 100 кПа в 1 см.

Вычислим величины напряжений s _z по линии II-II по точкам 5, 6, 7, 8 и 9. Для этого сечения z = 3 м, а изменяются значения r₁, r₂ и r₃.

где k ₁ = 0,3670 при k ₂ = 0,0844 при k ₃ = 0,0085 при

где k ₁ = 0,0844 при k ₂ = 0,3670 при k ₃ = = 0,0844 при

где k ₁ = 0,0374 при k ₂ = 0,4775 при k ₃ = = 1889 при

где k ₁ = 0,0171 при k ₂ = 0,3687 при k ₃ = 0,0844 при

где k ₁ = 0,4775 при k ₂=0,0844 при k ₃ = 0085 при

Строим эпюру напряжений по линии II-II в масштабе 50 кПа в 1 см.

Задача 2. Определить и построить эпюры вертикальных напряжений s _z от совместного действия внешних нагрузок, приложенных к двум фундаментам. Сечения, по которым строят эпюры напряжений, проходят через точки М ₁, М ₂ и М ₃, которые расположены на фундаменте Ф1. расстояние между осями площади подошвы фундаментов равно 3 м. Точки по вертикали от поверхности на расстоянии 1, 2, 4 и 6 м. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы фундаментов представлены на рис. 2.

Рис. 2. Схема нагрузок и геометрические размеры подошвы

фундаментов Ф1 и Ф2

Решение. Распределение по глубине вертикальных напряжений s _zс от действия равномерно распределенной нагрузки в пределах или за пределами площади подошвы фундаментов в любой точке массива можно определить по методу угловых точек по формуле

, (2)

где - коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон площади подошвы фундамента ( и - соответственно ширина и длина подошвы фундамента) и отношения ( - глубина, на которой определяется s _zс); - интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Значения приведены в табл. 2.

Если рассматриваемая вертикаль проходит через центр тяжести прямоугольника, то вертикальные напряжения определяются по формуле

где - коэффициент, определяемый из табл. 2, но в зависимости от отношений и .

Рассмотрим случай, когда вертикальная плоскость проходит через точку М ₁ . Определяется вертикальное напряжение сначала для фундамента Ф1 в точке М ₁, а затем в этой же точке для влияющего фундамента Ф2. Ф1 разбиваем на два прямоугольника М ₁ ABC и M ₁ CM ₃ D. Все геометрические размеры определены из схемы и графиков.

Если точка М ₁ расположена на контуре прямоугольника, то вертикальное напряжение определяется по формуле

,

где - коэффициенты, принимаемые соответственно для прямоугольников М ₁ ABC и M ₁ CM ₃ D по табл. 2. Размеры этих прямоугольников с глубиной не изменяются. Изменяется только значение z.

Так как прямоугольники равные, то и =

На вертикали, проходящей через М ₁, расположены точки на глубинах 1, 2, 4 и 6 м. Для этих точек вычислим значения напряжений s _zс и обозначим эти точки также 1, 2, 4 и 6.

Точка 1: ,

где = 400 кПа.

Значение принимаем по табл. 2, где - наименьшая сторона прямоугольника.

z = 1 м, b = 3 м, l = 4 м;

Значение принимается по столбцу Так как ни одно значение приведенных соотношений не совпадает с табличным, то приходится интерполировать. Для точки 1: = 0,980, кПа.

Точка 2: определяется так же, как и

.

z = 2 м, b = 3 м, l = 4 м.

кПа.

Как видно, при определении изменяется только отношение .

Точка 4: вычисления аналогичные.

кПа.

Точка 6: вычисления аналогичные.

кПа.

Точка М ₁: вычисления аналогичные.

Вычислим дополнительные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого построим дополнительные прямоугольники М ₁ А¢FK и M ₁ KLD ¢ так, чтобы точка М ₁ была для этих прямоугольников угловой (b = 1,8 м, l = 7,2 м). Эти прямоугольники равные. Нагрузим их р ₂. Нагрузка действует только в пределах Ф2, поэтому вычтем влияние прямоугольников M ₁ A¢OC¢ и M ₁ D¢NC¢ (b = 1,8 м, l = 14,8 м). Эти прямоугольники также равны.

Величина вертикального напряжения от влияния фундамента Ф2 определяется по формуле

,

где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М ₁ А¢FK и M ₁ KLD ¢ по табл. 2; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M ₁ A¢OC¢ и M ₁ D¢NC¢; - равномерно распределенная нагрузка по подошве фундамента Ф2, равная 300 кПа.

Коэффициенты определяются так же, как и в вышеприведенном случае.

Точка М ₁: z = 0.

= = 1; = = 1.

Точка 1: z = 1 м.

= =

= =

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

=

=

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

=

=

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= (3,33; 4) = 0,311.

=

кПа.

Строим эпюру напряжений в вертикальном сечении, проведенном через точку М ₁, по следующим данным (см. рис. 3):

Точка 0: s _zс = 200 + 0 = 200 кПа.

Точка 1: s _zс = 196 + 0,45 = 196,45 кПа.

Точка 2: s _zс = 175 + 0,6 = 174,6 кПа.

Точка 4: s _zс = 123,8 + 4,05 = 127,85 кПа.

Точка 6: s _zс = 80 + 4,65 = 84,65 кПа.

Построим эпюру напряжений s _z по сечению, проведенному через точку М ₂.

Сначала построим эпюру напряжений s _z, возникающих под фундаментов Ф1. В этом случае вертикальные напряжения вычисляются по формуле

,

где - коэффициент, зависящий от соотношений и (b – наименьший размер подошвы фундамента, l - наибольший размер подошвы фундамента) и принимаемый по табл. 2.

Точка М ₂: z = 0.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

По табл. 2 при k = 1.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

По табл. 2 при k = 0,765.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

k = 0,414.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

k = 0,235.

кПа.

Вычислим вертикальные напряжения в этих же точках от влияния фундамента Ф2. Для этого строим дополнительные прямоугольники так, чтобы в каждый прямоугольник входила точка М ₂: М ₂ А¢¢FK и M ₂ KLD ¢¢ (b = 1,8 м, l = 5,2 м). Эти прямоугольники загрузим нагрузкой . Вычислим для этих площадей загрузки коэффициенты и Из суммы этих коэффициентов вычтем коэффициенты и , определенных по прямоугольникам М ₂ А¢¢ОС и M ₂ CND ¢¢ (b = 1,8 м, l = 2,8 м), как прямоугольников, незагруженных нагрузкой .

Общая формула для определения напряжений

,

где и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников М ₂ А¢¢FK и M ₂ КLD ¢ и равные между собой; и - коэффициенты, определяемые для прямоугольников M ₂ A¢¢OC¢ и M ₂ C¢ND¢¢ и равные между собой.

Точка М ₂: z = 0.

Точка 1: z = 1 м.

= =

= = 0,978 по

= =

= = 0,926 по

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= =

= = 0,778 по

= =

= = 0,719 по

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= =

= = 0,485 по

= =

= = 0,356 по

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= =

= = 0,315 по

= =

= = 0,198 по

кПа.

Таким образом, суммарные вертикальные напряжения, вычисленные по сечению, проведенному через точку М ₂, составляют, кПа:

Точка 0: s _zс = s _{z, 0} + s _{zс, 0} = 400 + 0 = 400.

Точка 1: s _zс = s _{z, 1} + s _{zс, 1} = 376,5 + 7,8 = 384,2.

Точка 2: s _zс = s _{z, 2} + s _{zс, 2} = 306 + 8,85 = 314,85.

Точка 4: s _zс = s _{z, 4} + s _{zс, 4} = 165,6 + 18 = 183,6.

Точка 6: s _zс = s _{z, 6} + s _{zс, 6} = 94 + 17,55 = 111,55.

Построим эпюру напряжений s _z по сечению, проведенному через точку М ₃.

Порядок построения и расчета. Сначала вычислим вертикальные сжимающие напряжения по вертикали, проведенной через точку М ₃ для фундамента Ф1.

Величины напряжений определяются по формуле (2),

где - интенсивность давления на фундамент Ф1.

Длина подошвы фундамента l = 6 м, ширина b = 4 м.

Точка М ₃: z = 0.

k_{с ,0} = 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

k_{с ,1} = 0,982 по = 1,4.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

k_{с ,2} = 0,941 по = 1,4.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

k_{с ,4} = 0,765 по = 1,4.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

k_{с ,6} = 0,569 по = 1,4.

кПа.

По этим же точкам вычислим вертикальные напряжения s _z от действия фундамента Ф2. Для этого построим прямоугольники, включающие точку М ₃: М ₃ А¢¢¢FP - загрузим давлением , M ₃ A¢¢¢P ¢ - этот прямоугольник фактически не загружен, поэтому мы его вычитаем из прямоугольника М ₃ А¢¢¢FP; М ₃ D¢¢¢LP - тоже не загружен; М ₃ D¢¢¢NP¢ - не загружен, но дважды учтен, поэтому он загружен.

Общая формула для определения напряжений имеет вид

,

где - коэффициент, принимаемый по табл. 2 в зависимости от отношений (b - наименьший размер прямоугольника М ₃ А¢¢¢FP, равный 3,2 м) и (l - наибольший размер прямоугольника М ₃ А¢¢¢FP, равный 4,8 м); и - коэффициенты соответственно для прямоугольников М ₃ А¢¢¢ОP (b = 0,8 м; l = 4,8 м), М ₃ D¢¢¢LP (b = 1,2 м; l = 3,2 м), М ₃ D¢¢¢NP¢ (b = 0,8 м; l = 1,2 м), принимаемые по табл. 2.

Точка М ₃: z = 0.

= 1.

= 1.

= 1.

= 1.

кПа.

Точка 1: z = 1 м.

= 0,916 при = 1,4.

= 0,740 при = 5.

= 0,729 при = 2,4.

= 0,663 при = 1,4.

кПа.

Точка 2: z = 2 м.

= 0,902 при = 1,4.

= 0,455 при = 5.

= 0,729 при = 2,4.

= 0,309 при = 1,4.

кПа.

Точка 4: z = 4 м.

= 0,663 при = 1,4.

= 0,219 при = 5.

= 0,280 при = 2,4.

= 0,096 при = 1,4.

кПа.

Точка 6: z = 6 м.

= 0,452 при = 1,4.

= 0,116 при = 5.

= 0,151 при = 2,4.

= 0,045 при = 1,4.

кПа.

Суммарные напряжения по сечению, проведенному через М ₃ составляют, кПа:

Точка 0: s _{z, 0} =s _{zс, 0} + s¢ _{zс, 0} = 100 + 0 = 100.

Точка 1: s _{z, 1} =s _{zс, 1} + s¢ _{zс, 1} = 98,2 + 12 = 110,2.

Точка 2: s _{z, 2} =s _{zс, 2} + s¢ _{zс, 2} = 94,1 + 48,90 = 143.

Точка 4: s _{z, 4} =s _{zс, 4} + s¢ _{zс, 4} = 76,5 +18,9 = 95,4.

Точка 6: s _{z, 6} =s _{zс, 6} + s¢ _{zс, 6} = 56,9 +10,5 = 67,4.

Строим эпюры напряжений по сечениям, проведенным через точки М ₁, М ₂ и М ₃ (рис. 3).

а б в

Рис. 3. Эпюры напряжений по сечениям, проведенным

через точку: а - М ₁; б - М ₂; в - М _3.

Как видно из приведенных эпюр вертикальных напряжений, наибольшие значения возникают в сечениях, проведенных через центральные точки площади подошвы фундаментов. Поэтому в механике грунтов принято определять осадки фундаментов по этим величинам.

Задача 3. Рассчитать осадку ленточного фундамента методом послойного суммирования по данным, приведенным в табл. 4.

Таблица 4

Расчетная схема приведена на рис. 4.

Рис. 4. Геометрические размеры фундамента

и физические свойства грунтов

Осадка фундамента методом послойного суммирования определяется по формуле

где 0,8 - постоянный коэффициент; s _{zp i} – среднее значение дополнительного вертикального нормального напряжения в i -м слое грунта, равное полусумме указанных напряжений на верхней z_{i- 1} и нижней z_i границах слоя по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента; h_i и E_i – соответственно толщина и модуль деформации i -го слоя.

Дополнительное напряжение σ _zp определяется по формуле

σ _zp = a ×p _o,

где a - коэффициент, принимаемый по прил. 2, в зависимости от формы подошвы фундамента () и относительной глубины расположения точки (); р _о - дополнительное вертикальное давление, равное

р _о = р - σ _{zq. o},

где р – среднее давление по подошве фундамента; σ _{zq. o} – вертикальное напряжение по подошве фундамента от действия собственной массы грунта

σ _{zq. o} = g_II × d.

Здесь g_II – удельный вес грунта выше подошвы фундамента, определяемый с учетом взвешивающего действия воды при расположении уровня грунтовых вод выше подошвы фундамента; d – глубина заложения фундаментов.

Построим эпюру напряжений σ _zp по формуле. Для этого вычислим дополнительное давление р _о. Так как уровень грунтовых вод выше подошвы фундамента, то определение напряжения σ _{zq. o} производим с учетом взвешивающего действия воды.

Учет взвешивающего действия воды на величину g₁ производится по формуле

где заданный удельный вес твердых частиц 1-го слоя; удельный вес воды, равный 10 кН/м³; коэффициент пористости грунта 1-го слоя, равный

,

где - удельный вес сухого грунта 1-го слоя, определяемый по формуле

,

где - удельный вес грунта 1-го слоя; - заданная влажность грунтов 1-го слоя.

.

Взвешивающее действие воды учитывается только ниже уровня грунтовых вод:

σ _{zq. o} = 1,6×18 + (1,8 - 1,6)10,16 = 28,8 + 2,03 + 30,83 кПа.

= 400 – 30,83 = 369,17 кПа, где 400 кПа = 0,4 МПа.

При определении напряжений по прил. 2 приходится много интерполировать значения коэффициентов . Для того чтобы попасть в табличное значение x необходимо элементарные слои разделить на толщину, равную

,

где b – ширина подошвы фундамента.

В нашем случае толщина элементарного слоя равна м.

При ленточных фундаментах значение , поэтому значение коэффициента a принимаем по последнему столбцу прил. 2.

Фундамент расположен на глубине 1,8 м первого слоя. Напряжения распределяются на толще слоя, равной 4 - 1,8 = 2,2 м. Полных элементарных слоев толщиной 0,48 м - четыре, остаток - 0,28 м (0,48×4 + 0,28 = 2,2 м).

Значение a в первом слое изменяется как

		м
пески	0,4 0,8 1,2 1,6 1,83 2,00	0,48 0,96 1,44 1,92 2,2 2,40	1,0 0,977 0,881 0,755 0,642 0,589 0,550

Для глубины z = 2,2 м необходимо вычислять значение .

;

Для того чтобы попасть в табличное значение, принимаем равным 2,0. Это уже второй слой толщиной 2,40 м. Значение a = 0,550 м. Во втором слое далее толщина слоя 0,48 м.

Вычисления произведем в табличной форме (табл. 3.1).

Вычисляем напряжения s _zq по:

а) подошве фундамента: s _{zq, 0} = 30,83 кПа;

б) кровле второго слоя: s _zq = 30,83 + 2,2×10,10 = 53,18 кПа;

в) водоупору - второй слой является водоупором. Дальше грунт не взвешивается.

К значению 53,18 кПа прибавляется масса столба воды, равная кПа.

Тогда на водоупоре s _zq = 53,18 + 24 = 77,18 кПа.

В формуле (3.1) количество слоев должно быть равным, где выполняется условие

.

Значение 0,2 принимается в том случае, когда модуль деформации грунта в точке пересечения более 5 МПа. У наc E ₂ = 12 МПа.

Осадка фундамента равна

Таким образом, осадка фундамента – 8,7 см.

Список рекомендуемой литературы

1. С.Б. Ухов, В.В. Семенов, В.В. Знаменский и др.Механика грунтов, основания и фундаменты/ М.: АСВ, 2004.

2. Н.А. Цытович. Механика грунтов (краткий курс)/ 4-е изд., М.: Высш. шк., 1983.

Date: 2015-07-24; view: 2024; Нарушение авторских прав