Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Решение нелинейного уравнения методом Ньютона





Рассмотрим применение метода Ньютона сначала для решения одного нелинейного уравнения f (х)=0, где f (х) - непрерывно дифференцируемая функция.

Функцию f (х) можно разложить в ряд Тейлора в окрестностях произвольно взятой точки х (0)

. (1)

Если в многочлене (1) отбросить производные высших порядков и оставить только линейные члены, то получим

, (2)

где - называется поправкой.

Эта операция называется линеаризацией нелинейного уравнения.

Из линеаризованного уравнения (2) можно выразить поправку

(3)

и вычислить новое (первое) приближение к корню

. (4)

Если подставить значение в f (х), то получим невязку . По величине невязки можно судить о близости к корню. Если невязка значительно отличается от нуля, то требуется вычислять новую поправку , подставляя в линеаризованное уравнение (2) значение . Вычислительная процедура повторяется до тех пор, пока очередная невязка не станет достаточно близкой к нулю.

Таким образом, суть метода Ньютона заключается в линеаризации нелинейного уравнения и решении полученного линейного уравнения на каждой итерации. Значение корня линейного уравнения является очередным приближением к корню решаемого нелинейного уравнения.

Графическая иллюстрация применения метода Ньютона для решения нелинейного уравнения f (х)=0 дана на рисунке.

 


Как видно из рисунка, к действительному корню нелинейного уравнения приближаемся последовательно от заданного начального приближения х (0).

Алгоритм решения нелинейного уравнения f (х)=0 методом Ньютона состоит из следующих действий:

1. Задаем начальное приближение х (0).

2. Вычисляем невязку f (х (0)).

3. Определяем - значение производной (как тангенс угла , образованного касательной к кривой в точке В с осью х).

4. Вычисляем поправку ∆ х (1) (как катет АС прямоугольного треугольника АВС).

.

5.

f (х)
Определяем новое приближение х (1)= х (0)-∆ х (1).

6. Вычисляем невязку f (х (1)) и проверяем условие ε.

Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, в противном случае повторяем действия начиная с 3-го.

Примечание: 1. Значение ε задается в каждом конкретном случае и не должно быть равным нулю, так как итерационный метод не позволяет определить абсолютно точное значение корня (это обычно практически не требуется). Неоправданное снижение значения ε не рекомендуется, поскольку при этом увеличивается число итераций.

2. Если у функции f (х)=0 имеется несколько корней, то метод Ньютона позволяет найти вещественный корень и причем только один в области притяжения которого находится начальное приближение.

 
 

 

 

Пример: нужно решить нелинейное уравнение 7 х 3+5 х -1=0 (ε = 0,01)

0 итерация 1. х (0)=0 Зададим х (0)=0

2. | f (х (0))=1|>ε | Начальная невязка f (х (0))=1| ≥ε

1 итерация 1.

2.

3. х (1)= х (0)-∆ х (1)=0-(-0,2)=0,2

4. f (x (1))=7∙0,23+5∙0,2-1=0,056 |0,056| > ε

2 итерация 1.

2.

3. х (2)= х (1)-∆ х (2)=0,2-0,01=0,19

4. f (x (2))=7∙0,193+5∙0,19-1=0,048+0,95-1=0,002 |0,002|< ε

Результаты расчетов целесообразно представить в следующей таблице

№ итерации (к) тангенс х (к) поправка х (к) приближение f (х (к)) невязка
  - -   -1
    -0,2 0,2 0,056
  5,84 0,01 0,19 0,002

 

Date: 2015-07-24; view: 356; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию